NUMEROS COMPLEJOS

NUMEROS COMPLEJOS

Para comprender el por qué y para qué existen los números complejos y todo lo que se hace con ellos es necesario, aunque sea de manera muy sintética, hacer un breve recorrido histórico de la aparición y evolución de todos los números, o sea de los sistemas numéricos que hoy conocemos junto con sus operaciones, es decir la manera en que el hombre pensante ha ido creando númerosy operaciones. Los sistemas de numeración desde una cronología histórica son los números naturales, continuando con los enteros, luego los racionales, los irracionales hasta llegar a los números reales que son los de uso cotidiano por el ser humano para todas sus operaciones comerciales, de mediciones y de cualquier contabilidad. Pero más allá de los números reales están los complejos. Es lo quese describirá a continuación.
Los números naturales
Los números naturales surgieron por la necesidad del hombre de contar inicialmente cosas enteras y tangibles.
El primer sistema de numeración que el hombre inventó fue el de los números naturales, o sea los enteros positivos: N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., }.
Los números enteros
Los números enteros surgieron por la necesidad de y para dar solución alas restas de un número natural menos otro mayor que el primero.
Los números racionales surgieron por la necesidad de y para dar solución a las divisiones de un número entero entre otro entero no submúltiplo del primero.
Los números irracionales surgieron por la necesidad de y para dar solución a las raíces no exactas.
Definición de un número complejo
No existe un número real x que satisfaga laecuación polinómica 1 0 2 x + = . Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos.
Se define un número complejo, z, mediante la siguiente expresión:
z ≡ x + jy
donde x e y son una pareja cualquiera de números reales. Llamamos j a la unidad imaginaria compleja. Definimos j de la siguiente manera:
2 j ≡ − 1.
Si z = a + jb , a se llama la parte real de z y b laparte imaginaria de z y se denominan mediante a = ℜ(z) y b = ℑ(z), respectivamente. El símbolo z , que puede representar cualquier elemento del conjunto de números complejos, es llamado una variable compleja. Dos números complejos a + jb y c + jd son iguales si y solamente si a = c y b = d . Podemos considerar los números reales como el subconjunto del conjunto de los números complejos con b = 0 . Eneste caso por ejemplo, los números complejos 0 + j0 y − 3 + j0 representan los números reales 0 y –3, respectivamente. Si a = 0 , el número complejo 0 + jb o jb se llama un número imaginario puro.
El conjugado de un número complejo a + jb es a − jb . El conjugado de un número complejo z se indica frecuentemente por * z o − z .
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

Suma de númeroscomplejos (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ∴ a, b, c, d ∈ ℜ

Ejemplo: para obtener la suma de números complejos
(2 + 3i) + (−5 + 7i) = (2 − 5) + (3+ 7)i = −3+10i

Resta de números complejos (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i ∴ a, b, c, d ∈ ℜ
Ejemplo: (2 + 3i) − (−5 + 7i) = (2 + 5) + (3− 7)i = 7 − 4i

=Adicción =
Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b)+ (c; d) = (a +c; b+ d)

=Sustracción=
Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo : Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

=Multiplicación=
Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

=Potenciación=
La potenciacion de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicacion reiterada:  Zn = (a ; b)n = (a;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado Si el discriminante de la ecuación ax al cuadrado + bx + c = 0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por i al cuadrado y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.
=Forma Binomica=
La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

Operaciones...