Numeros imaginarios

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Operaciones con números imaginarios y complejos.
-) Potencias de la Unidad Imaginaria:
i =
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
Para determinar el resultado decualquier potencia de la unidad imaginaria “i” se toma su exponente, se lo divide por 4 (cuatro), y el resto de esa división que será siempre menor que 4(cuatro), será en definitiva el valor buscado que quedará encuadrado dentro de la primeros cuatro valores de la tabla anterior.
Ejemplo: a) i18 = 18 :4
* 4i18 = i4 i4 i4 i4 i2 = i2
i18 = -1*
b) i273 = 273 :4
1 68
i273 =

Si " i " es el número imaginario que cumple que
i² = -1
o de manera equivalente quei = √(-1)
entonces dicho número tiene básicamente 4 potencias (cualquier potencia se puede reducir a alguna de estas 4). Veamos:

i° = 1 . . . . cualquiernúmero elevado a la potencia 0 da 1
i = i . . . . . cualquier número elevado a la potencia 1 da el mismo número
i² = -1 . . . .por definición (ver arriba)i³ = -i . . . . puesto que i³ = i².i ---> i³ = (-1).i ----> i³ = -i

A partir de acá, se vuelven a repetir:
i^4 = 1 . . . . puesto que i^4 = i².i²---> i^4 = (-1)(-1) ----> i^4 = 1 ---> i^4 = i°
i^5 = i . . . . .puesto que i^5 = i^4.i ---> i^4 = i°.i ---> i^4 = 1(i) ---> i^4 = i
yasí sucesivamente...

Lo anterior significa que la potencia "n" de " i " se obtiene simplemente hallando el residuo de dividir "n" entre 4. Por ejemplo, siqueremos determinar la potencia 234 de i todo lo que tenemos que hacer es lo siguiente:
234 / 4 = 58, residuo 2. 
Así,
i^234 = i²
y por tanto
i^234 = -1
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