numeros naturales

CAPÍTULO 2
NÚMEROS NATURALES (PARTE 2).
2.1.

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se analizan las operaciones potenciación, radicación, máximo común divisor y mínimo
común múltiplo.
2.2. POTENCIACIÓN.
Se llama potenciación al producto formado mediante multiplicaciones sucesivas de un mismo número o
letra. Por ejemplo:
23 = 2.2.2

entonces

23 =8

Observación: El 2 se llama base, el 3exponente (indica el número de veces que el número o letra se ha
de multiplicar por sí misma).Como 23 =8, el 8 es la tercera potencia de 2.
2.2.1. DEFINICIONES BASICAS
DEFINICION
1. POTENCIA
ENESIMA

2.POTENCIA CERO
(Exponente 0)

3.POTENCIA UNO
(Exponente 1)

ENUNCIADO
Si la base es un número natural
el exponente natural mayor que 1:

EJEMPLO
x

y

n

xn = x.x.x… x; xN n1 ∈N
n veces
Se llama potencia cero de un número natural x,
distinto de cero, al número 1:
x0 = 1 ; x  0
Se llama potencia uno (primera potencia) de un
numero natural x, al mismo número sin el
exponente.
x1 = x

32 = 3.3
43 = 4.4.4
54 = 5.5.5.5
30 = 1
20 = 1
50 = 1
31 = 3
21 = 2
51 = 5

Observación: La segunda potencia de un número se llama cuadrado de dicho número. Latercera
potencia, cubo de dicho número. La potencia n de un número x (xn),se llama potencia enésima de x. La
potencia enésima de un número natural existe y es única.

EJERCICIOS
Escriba como una potencia los siguientes productos:
1. 2.2.2.
2. 3.3.
5. 6.6.6.6.6.6.6
6. 7.7.7.7.7.7.7
9. 20.20.20.20.20
10. 1.1.1.1.1
Msc. Paco Bastidas Romo

17

3. 4.4.4.4
7. 10.10.10.10
11. 0.0.0.0.04. 5.5.5.5.5.
8. 15.15.15.15.
12. 9.9.9.9.
Matemática Básica.

2.2.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Si a, b, y n son números naturales, siendo n mayor que cero, entonces la potenciación cumple con las
siguientes propiedades:
PROPIEDAD
1. POTENCIA DE UN
PRODUCTO

2. POTENCIA DE UNA
DIVISION EXACTA

ENUNCIADO
La potencia enésima de un producto es igual al
producto de las potenciasenésimas de cada uno
de los factores.
(x.y)n = xn.yn
La potencia enésima de un cociente exacto es
igual a la potencia enésima del dividendo, dividida
para la potencia enésima del divisor, b  0:
(x/y)n = xn/yn

EJEMPLO

(2.3)2 = 22.32

(6/3)2 = 62/32

2.2.3. OPERACIONES DE LA POTENCIACIÓN.
Un teorema es una proposición que requiere demostración. En lo que sigue se procederá a unaverificación numérica, en consideración de que las demostraciones están fuera del alcance de este
capítulo. Si a,m y n son números naturales; m y n mayores que cero, entonces:
OPERACIONES

ENUNCIADO

EJEMPLO

1. PRODUCTO DE
POTENCIAS
(de igual base)

Se mantiene la base y se suman los exponentes.
xm.xn = xm+n

2 .2 = 2

2. COCIENTE DE
POTENCIAS
(de igual base)
2. POTENCIA DEOTRA
POTENCIA

Se mantiene la base y se restan los exponentes.
Si m  n y x 0:
xm/xn = xm-n
Se mantiene la base y se multiplican los
exponentes.
(xm)n = xmxn

2

4

3

3

2+3

2 /2 = 2

3 2

(2 ) = 2

=2

4-3

3x2

5

=2

=2

6

Observación: la resta de exponentes no está definida en los números naturales cuando el minuendo es
menor que el sustraendo.
2.2.4.APLICACIONES (RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS).
Resolver una ecuación es determinar los valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad. Estos
valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación 22• 2 = x
PROPOSICIONES
1. 22• 2 = x
2. x = 22• 2
3. x = 23
4. x = 8

0


1

Msc. Paco Bastidas Romo


2


3

RAZONES
Dato
Axiomasimétrico (=)
am.an = am+n
Def. (an)

4


5

18


6


7


8


9

Matemática Básica.

Ejemplo 2: Resolver la ecuación (23)2-30 = x
PROPOSICIONES
1. (23)2-30= x
2. x = (23)2-30
3. x = 26-30
4. x = 36 - 30
5. x = 6

0


1


2


3

RAZONES
Dato
Axioma simétrico (=)
(am)n = amxn
Def (an)
Def (-)

4


5


6


7


8


9...