Numeros racionales

LA RAÍZ DE CUALQUIER NÚMERO PRIMO ES IRRACIONAL

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PRIMERA DEMOSTRACION
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El método que se va a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso. supongamos que existe unafracción irreducible tal que a/b = raíz(número primo) si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad a^2/b^2 = número primo si multiplicamos ambos lados por el mismo número en este caso b^2 (a^*b^2)/b^2 = primo * b^2 que es igual a^2 = primo * b^2 esta igualdad nos dice que en un lado hay un número primo como factor luego en el otro lado de la igualdad también estará o sea en a^2, como estenúmero es un número elevado al cuadrado el número primo que hemos puesto como ejemplo estará por duplicado o sea dos veces, si esta dos veces como factor en un lado en el otro
También estará dos veces o sea en primo * b^2, por lo tanto,
También estará en b^2 por el mismo motivo que hemos explicado en b^2 también estará dos veces hemos llegado a una contradicción la fracción a/b es reducible lo queentra en contradicción con la suposición que hemos puesto al principio la fracción a/b estaba lo más simplificada posible era irreducible, por lo tanto, no existe una fracción a/b de números enteros irreducible que sea igual a la raíz de cualquier número primo por lo tanto la raíz de cualquier número primo es irracional

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SEGUNDA DEMOSTRACION
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En estademostración intentaremos construir una fracción a/b Que sea igual a la raíz de cualquier número primo supongamos que, existe una fracción a/b = raíz(7) he elegido el 7 pero puede ser cualquier número primo si elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad a^2/b^2 = 7/1 esta igualdad nos dice que en a^2 puede estar el número 7 como factor un número de veces impar o par, si esta un número de vecesimpar en b^2 estará un número de veces par, si en a^2 está un número de veces par enb^2 estar un número de veces impar. En ambos casos uno de los números o bien a^2 o bien b^2 debe estar necesariamente el número 7 como factor un número de veces impar por ser un número primo. Y aquí está la conclusión, no es posible construir un número que elevado al cuadrado tenga como factor primo el 7 y queaparezca un número de veces impar. Así pues la fracción a/b = raíz (7) no existe esta conclusión se extiende a cualquier número primo, por lo tanto, la raíz de cualquier número primo es irracional.

Porque las raíces de los primos son irracionales
Para esto vamos a necesitar saber lo que es un número primo, un número racional y un máximo común divisor.
* Número primo. Es un número que no puedeser dividido de forma exacta entre ningún otro número anterior (excepto el 1, por supuesto). Como ejemplo tenemos al 5, que no puede ser dividido de forma exacta por el 2, ni por el 3, ni por el 4.
* Número racional. Es un número que podemos expresar como cociente (división) de dos enteros. Como ejemplos tenemos al 1/3, 2/5, 9 (= 9/1), 0 (= 0/3, 0/5, 0/9, etc).
* Máximo común divisor dedos números. Este es el más complicado de todos. Suponte que tenemos dos números cualesquiera, digamos 72 y 90, entonces podemos descomponer a estos números en sus factores primos (números primos que multiplicados den el número que buscamos). Por ejemplo 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3, mientras que 90 = 2 · 3 · 3 · 5. Notamos que es la única manera de descomponer estos números (por el Teorema fundamentalde la aritmética). Ahora sí, el Máximo común divisor de dos números es el resultado de multiplicar los primos que tienen en común en su descomposición. ¿cuáles son los números que tienen en común las descomposiciones de 72 y 90? 24 tiene 2, 2, 2, 3 y 90 tiene 2, 3, 3, 5 así que los que tienen en común son 2, 3 y 3 entonces el máximo común divisor es 2 · 3 · 3 = 18. Los que tengan en común...