Numeros reales

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NUMERO REALES

Los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: [pic]. Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal.

[pic]

El conjunto de números reales se puede describircompletamente por un conjunto de axiomas, con estos se puede deducir las propiedades de los números reales de las cuales se siguen las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división, así como lo conceptos algebraicos de solución de ecuaciones, factorización, etc.

Un numero real puede ser positivo, negativo, o bien, cero, y cualquier numero real se puede clasificar comoracional o irracional. Un número racional es cualquier número que se puede expresar como la razón de dos enteros. Los números racionales comprenden:

❖ Los enteros (positivos, negativos y cero)...-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,5,...

❖ Las fracciones positivas y negativas, tales como: 2/4 -4/5 7/9 86/4 18/3

❖ Los decimales conmensurables positivos y negativos , tales como 2.36 = 236/100-0.003251 =-3251/1000000

❖ Los decimales inconmensurables periódicos positivos y negativos, tales como 0.333... = 1/3 -0.549549549... =-61/111

Los números reales que no son racionales se denominan irracionales. Estos son decimales inconmensurables y no periódicos; por ejemplo, raíz de 3 = 1.732...

➢ TIPOS DE NÚMEROS REALES

Un número real puede ser un número racional oun número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

[pic] Es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existeun polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si [pic] es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del binomio qx=p. Sin embargo, no se cumple el recíproco, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos
El número [pic] es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 −12x2 + 6x − 8

Un ejemplo de número trascendente es [pic]

➢ SUBCONJUNTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Reconocer que si [pic] y [pic] son conjuntos y si todo elemento de [pic] es elemento de [pic], entonces se dice que [pic] es subconjunto de [pic]
Notación: Si [pic] y [pic] son conjuntos y [pic] es subconjunto de [pic] se escribe [pic]. Si [pic] no es subconjunto de [pic] seescribe[pic].
Si [pic] es un elemento del conjunto[pic], se escribe[pic]. Si [pic] no es un elemento del conjunto [pic] se escribe[pic].

➢ ALGUNOS SUBCONJUNTOS PARTICULARES DE LOS NÚMEROS RACIONALES
El número natural 6 se puede representar como[pic], por lo tanto[pic]. De manera similar, el número natural 29 se puede representar como[pic], por lo tanto[pic]. En general, si[pic], [pic] se puederepresentar como[pic], por lo tanto todo número natural es racional, es decir, [pic]

De igual manera, el número [pic] se puede representar como [pic], por lo tanto, [pic]. En general, si [pic], entonces se puede representar como [pic], por lo tanto, todo número entero es racional, es decir, [pic].

➢ PROPIEDADES DE LOS NUMEOS REALES

❖ Tricotomía:
En particular, en los números...
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