numeros reales

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
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Facultad de Ciencias F´sicas y Matematicas
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Introduccion a la Matematica Universitaria.
520145
Cap´tulo 2. Numeros Reales
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FCFM. UdeC.

1.

IMU. 520145

Numeros Reales.
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Existe un conjunto R cuyos elementos se llaman numeros reales,
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dotado de una relacion de igualdad y provisto de dos operaciones
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binarias internas, laadicion + y la multiplicacion · , que satisfacen
las siguientes propiedades o axiomas.

1. Propiedades de la suma
a)

∀x, y ∈ R : x + y = y + x;

b)

∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z ; asociatividad

c)

∃0 ∈ R, ∀x ∈ R : x + 0 = x;

d)

∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R : x + (−x) = 0.

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2.

conmutatividad

neutro aditivo
inverso aditivo
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Numeros Reales.´
2. Propiedades del producto
a)

∀x, y ∈ R : xy = yx;

b)

∀x, y, z ∈ R : x(yz) = (xy)z ;

c)

∃ 1 ∈ R, ∀x ∈ R : x · 1 = x;

d)

∀x ∈ R, x = 0 : ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = 1; inverso multipl.

e)

∀x, y, z ∈ R : x(y + z) = xy + xz .

conmutatividad
asociatividad
neutro multipl.

distributividad del producto en la suma.

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3.

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Numeros Reales.´
Observaciones:
a) Los elementos neutro aditivo 0, neutro multiplicativo 1, inverso
aditivo −x e inverso multiplicativo x−1 , x

= 0, son unicos.
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b)

x · 0 = 0, ∀x ∈ R.

c)

R con estas operaciones se dice que es un Cuerpo
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conmutativo, la multiplicacion se escribe x · y = xy .

d) La igualdad tiene las siguientes propiedades:
i) es reflexiva, ∀x

∈ R, x = x.

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ii) essimetrica, ∀x, y

∈ R, x = y ⇐⇒ y = x.

iii) es transitiva, ∀x, y, z
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∈ R, x = y ∧ y = z ⇐⇒ x = z .
4.

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Numeros Reales.
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Utilizando los axiomas de cuerpo se deducen las reglas
algebraicas que rigen la operatoria con igualdades.
Operatoria algebraica:

∀x, y, z ∈ R

a)

x = y =⇒ x + z = y + z ;

b)

x = y =⇒ xz = yz, z = 0;

c)

xy = 0 ⇐⇒ x =0 ∨ y = 0;

∀x, y ∈ R existe un unico numero real d tal que
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´
x + d = y , se llama diferencia entre y y x, se escribe
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d = y − x. Ademas existe un un unico numero real z tal que
´
´
y
xz = y , se llama cuociente de y y x, se escribe z = x = yx−1 .

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Definicion.

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5.

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Numeros Reales .
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Continuacion operatoria algebraica:

∀x, y ∈ R

a)−(−x) = x;

b)

(−x)y = −xy ;

c)

(−x)(−y) = xy ;

d)

x = 0 ∧ y = 0 =⇒ (xy)−1 = x−1 y −1 ;

e)

−(x + y) = (−x) + (−y) = −x − y ;

(x + y)(x − y) = x2 − y 2 ;
xu
xu
=
;
g)
yv
yv
x u
vx + yu
h)
+ =
.
y
v
yv
f)

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6.

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Numeros Reales.
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Orden en R. Para dotar a R de un orden compatible con las
operaciones ya definidasintroducimos los llamados axiomas de
orden.
O) Distinguiremos en R un subconjunto no vac´o R+ , cuyos
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elementos llamaremos numeros reales positivos, tal que:
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(O.1) Tricotom´a.
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∀x ∈ R se verifica una y solo una de las

proposiciones:

x ∈ R+ ∨ −x ∈ R+ ∨ x = 0.
(O.2)

∀x, y ∈ R+ , x + y ∈ R+ , R+ es cerrado para la suma

(O.3)

∀x, y ∈ R+ , xy ∈ R+ , R+ es cerrado para la
´multiplicacion.

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7.

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Numeros Reales.
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Definicion. Definimos en R la relacion menor que, simbolizada <
como sigue

∀x, y ∈ R, x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+ .
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Tambien se escribe y

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> x. De la definicion es claro que
x ∈ R+ ⇐⇒ x > 0.

R− = {x ∈ R : −x ∈ R+ }. Luego,
x ∈ R− ⇐⇒ x < 0.

´
Definicion.

´
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Definicion. Definimos en R la relacion menor o igualque,
simbolizada ≤ como sigue

∀x, y ∈ R, x ≤ y ⇐⇒ y − x ∈ R+ ∨ x = y.
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8.

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Numeros Reales.
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Relacion de Orden. La relacion de orden ≤ satisface las
siguientes propiedades:
a) Es reflexiva,∀x

∈ R, x ≤ x

´
b) Es antisimetrica,∀x, y
c) Es transitiva,∀x, y, z

∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y.

∈ R, x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z.

´
d) Criterio de...