Numeros reales

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I UNIDAD. NUMEROS REALES

MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL

I UNIDAD. NUMEROS REALES

1. Clasificación de los números reales.
En Cálculo diferencial se trabaja con los números reales, antes que nada tenemos que conocer al conjunto de los números reales (se designa por la letra R) para así poder operar con y sobre ellos .Los números reales se clasifican en:

1) El conjunto de losnúmeros naturales (N). Son números que se utilizan para contar, y es el conjunto de los números enteros positivos excluyendo el cero.
N={1,2,3,4,5,…}

2) El conjunto de los números enteros (Z). Son los enteros positivos y negativos más el cero. El conjunto de los números naturales esta incluido dentro del conjunto de los números enteros.
Z={…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

3) Elconjunto (Q) de los números racionales. Vienen a ser los quebrados o números fraccionarios y que son números cuya expresión es de la forma n/m donde n y m son enteros y m diferente de cero. El conjunto de los números enteros esta dentro del conjunto de los números racionales.
Q={…,-n/m,…,-1,…,-4/5,…,-2/3,…,-1/2,...,0,...,1/2,…,2/3,…,4/5,…,1,…,n/m,…}

4) El conjunto (I) de los númerosIrracionales. Son los números no racionales. Usted ya ha utilizado el conjunto de los irracionales (I; quizá no los conoce con este nombre) pero son los números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros, como por ejemplo: el número [pic], empleado para calcular el área de un círculo; el número [pic]que es la base del logaritmo natural y, en fin, la raíz cuadrada de los números queno son cuadrados perfectos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2,3,5,6,7,8,etc.
Ahora: Cuales son los números reales (R)?. Simple:

[pic]
Nota: Por supuesto que existe otra clase de números que no son reales. Cuales son estos números?. Los imaginarios, o en forma mas general, los complejos (C). Son los que se obtienen al sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Por el momento estaclase de números NO nos interesan. Nuestro interés se centrará en los reales, ya que en ellos es en lo que vamos a trabajar el Cálculo.

Actividad 1: Clasifica los siguientes números indicando si son números naturales (N), Enteros (Z), Racionales (Q) , Irracionales (I) o Reales (R).
[pic]

Naturales (N) : __________________________________________
Enteros (Z) :____________________________________________
Racionales (Q): __________________________________________
Irracionales (I) : __________________________________________
Reales (R) : _____________________________________________

2. Propiedades de los números reales (R).

1) Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir(excepto entre cero, no es posible dividir entre cero bajo las reglas usuales de la aritmética) y se siguen manteniendo las mismas propiedades.
2) También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real.
3) El número cero tiene la propiedad de que cualquier número multiplicado por el da cero y cero divididoentre cualquier numero diferente a cero es igual a cero (0/m=0).
4) Inversos. Cada numero x tiene un inverso aditivo (también llamado opuesto o simétrico), -x, que satisface x +(-x) = 0. También, cada numero x, excepto el 0, tiene un inverso multiplicativo (también denominado reciproco), x-1=1/x, que satisface x • x-1 = 1.
La sustracción (resta) y la división se define por

x - y = x+ (-y)
y
[pic][pic]

mientras y ≠ 0. La división entre 0 no esta definida.

Actividad 2: Realice las operaciones indicadas y escriba sobre la raya la respuesta.

Escriba el inverso multiplicativo de las siguientes expresiones.

3. Representación grafica de los números reales.
Los números...
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