numeros reales



CONJUNTO DE NÚMEROS


Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática elemental se encuen­tran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números.

De particular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que se denota por R


En este capítulo se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto universal esel con­junto de los números reales.

Se revisarán en primer lugar algunas propiedades elementales de los nú­meros reales antes de aplicar los principios fundamentales de la teoría de conjuntos a conjuntos de números.


El conjunto de los números reales con sus propiedades se llama el sistema de los números reales.


NÚMEROS REALES, R

Una de las propiedades más importantes de losnúmeros reales es el poderlos representar por pun­tos de una línea recta. Como en la Fig. 3-1, se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cada número real vienerepresentado por un punto único. Llamando a esta recta la recta real, podrán emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número.

s= 2,781…
- 



Fig. 3-1

Los números a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados números negativos. El 0 mismo no es ni positivo ni negativo.ENTEROS, Z

Los enteros son los números reales

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Se denotan los enteros por Z; así que se escribe
Z = {.... -2, -1, 0, 1, 2,...,} 30

Propiedad importante de los enteros es que son «cerrados» respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es a su vez un entero.

Nóteseque el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respecto de la operación división.


NÚMEROS RACIONALES, Q

Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros. Se de­nota el conjunto de los números racionales por Q, así que,

Q = {x | x = p/q donde p  Z, q  Z}Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5 = 5/1; por tanto, Z es un subconjunto de Q.

Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplica­ción y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0).

Es decir, que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es unnúmero racional nue­va

NÚMEROS NATURALES, N

Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números natu­rales por N; así que
N = {1, 2, 3,...}

Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores sistemas de números:
N  Z  Q  R

Losnúmeros naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación solamente.

La diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número natural. Los números primos son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por p mismo. He aquí los primeros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...







NÚMEROSIRRACIONALES, Q’

Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales Q en los números reales R; por eso se denotan los números irracionales por Q’.
Ejemplos de números irracionales son

, , , etc.


DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS

La Fig. 3-2 siguiente es un...