Numeros Reales

1. El conjunto de números reales (IR)

1. Número decimal

Los números racionales se representan de dos maneras: como a/b con b distinto de cero o como número decimal.
Un número decimal es la representación de un racional que se obtiene al dividir el numerador por el denominador y está conformado por una parte entera y por una decimal, separadas una de la otra por una coma.

Ejemplos:625 =0, 24 (decimal finito o limitado) 53=1,666=1,6 (decimal infinito periódico puro)

Parte decimal
Parte entera

Parte decimal
Parte entera

2. Fracción generatriz de un número decimal

Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, procede de una fracción. La fracción irreductible la que procede dicho decimal se llama fracción generatriz del número decimalo simplemente generatriz.
En el estudio de la generatriz de una expresión decimal, nos encontramos con tres casos:
1er. caso: Cuando el número decimal es finito o limitado
Se convierte a fracción decimal donde el numerador es el número entero que resulta al quitar al número decimal de la coma, y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.
Luego sesimplifica hasta obtener una fracción irreductible.
Ejemplos:
* Una fracción decimal es aquella donde el denominador es una potencia de 10. Ejemplos:
710, 8100,4510000, etc

* Toda fracción común cuyo denominador es 2;5 o u producto combinados de ellos, se pueden convertir por amplificación a fracción decimal. Ejemplos:
172=17 x 52 x 5=8510
340=3 x 2540 x 25=751000

. 0,4=410=25. 1,3=1310

. 0,45= 45100=920

. 2,832=28321000=354125



Fracciones
Decimales

2do. caso cuando el numero decimal es infinito periódico puro

Ejemplo:

Para hallar la fracción generatriz de 0,18 seguimos estos pasos:

* Sea x la fracción generatriz.
x = 0,181818… = 0, 18
* Multiplicamos ambos miembros por 100.
100 x = 18, 18
* Restamos de la segundaigualdad la primera:

100 x = 18, 18
x = 0, 18

100x – x = 18, 18- 0, 18
99x = 18
* De donde : x= 1899 que simplificando resulta x= 211

3er. caso: cuando el numero decimal es infinito periodo mixto

Ejemplo:

Entonces:
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta se pone por numerador la parte no periódica seguida del primerperiodo, menos la parte no periódica; y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, simplificando después hasta hallar la equivalente irreductible.
Ejm:

3. Números irracionales
¿Existen número decimales ilimitados que no son racionales? Veamos un ejemplo:
Al extraer la raíz cuadrada al número 2 se obtiene:2 =1,41421356237309….
Observamos que:
. El resultado es un decimal ilimitado, pues, normas que se prolongue su cálculo, nunca termina.
. Este decimal ilimitado no es periódico, pues, por mucho que prolonguemos su cálculo, nunca habrá periodo de cifras que se vayan repitiendo.
.este decimal no se puede expresar mediante la división de dos números enteros (como consecuencia de ser ilimitado noperiódico).
Luego al resultado de 2 , decimal ilimitado no periódico, no es un número racional.
A estos números que no podemos expresar mediante la forma ab con a∈z y b ∈ z - 0 de les llama irracionales.
Luego podemos definir los números irracionales como numero de infinitas cifras decimales, no periódicas y que en consecuencia, no pueden representarse mediante la razón de dos númerosenteros.

4. El conjunto de los números irracionales ( II )

Así como, al no ser posibles todas las restas en el conjunto IN, hubo necesidad de construir el conjunto ZI, y así como también, al no ser posibles todas las divisiones en el conjunto ZI, hubo necesidad de construir el conjunto Q, de la misma manera hay necesidad de construir un nuevo conjunto, distinto de Q, para expresar las...