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Límites e infinitesimales
Artículos principales: Límite matemático y Infinitesimal
El cálculo es usualmente desarrollado mediante la manipulación de "cantidades pequeñas". Históricamente, el primer método para lograr eso se basaba en infinitesimales. Éstos son objetos que pueden ser tratados como números pero que son, en algún sentido, "infinitamente pequeños". Tratándose de números, éstosserían puntos que no son cero, pero que tienen una distancia cero del número 'cero'. Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimales. Este punto de vista perdió terreno en el siglo 19 porque era difícil lograr una noción precisa del infinitesimal. El concepto cobró fuerza nuevamente en el siglo 20 con la introducción del análisis no estándar y del"análisis infinitesimal suave" (del inglés smooth infinitesimal analysis) , los que proveyeron fundamentos sólidos para la manipulación de infinitesimales.
En el siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados por los límites. Los límites describen el valor de una función en un cierto valor de entrada en términos de sus valores en un punto cercano. Capturan el comportamiento a pequeña escala, comolos infinitesimales, pero usan el sistema ordinario de los números reales. En este contexto, el cálculo es una colección de técnicas usadas para la manipulación de ciertos límites. Los infinitesimales son reemplazados por números muy pequeños y el comportamiento infinitamente pequeño de la función es encontrado mediante el comportamiento límite para números cada vez más pequeños. Los límites sonfácil de poner en fundamentos, y por esta razón son usualmente considerados como el acercamiento estándar al cálculo.
[editar] Cálculo diferencial

Línea tangente en (x, f(x)). La derivada f′(x) de una curva en un punto es la pendiente de la línea tangente a esa curva en ese punto.
Artículos principales: Cálculo diferencial y Derivada
El cálculo diferencial es el estudio de la definición,propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función, o lo que es lo mismo, la pendiente de la tangente a lo largo de su gráfica. El proceso de encontrar la derivada se llama derivación o diferenciación. Dada una función y un punto en su dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña-escala de la función cerca del punto. Encontrando la derivada de unafunción para cada punto en su dominio, es posible producir una nueva función, llamada la “función derivada” o simplemente la “derivada” de la función original. En lenguaje técnico, la derivada es un operador lineal, el cual toma una función y devuelve una segunda función, de manera que para cada punto de la primera función, la segunda obtiene la pendiente a la tangente en ese punto.
El concepto dederivada es fundamentalmente más avanzado que los conceptos encontrados en el álgebra.
Para entender la derivada, los estudiantes deben aprender la notación matemática. En notación matemática, un símbolo común para la derivada de una función es una marca parecida a un acento o apostrofo llamada símbolo primo. Así la derivada de f es f′ (pronunciado "f prima"). En lo siguiente la segunda función es laderivada de la primera:

Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto del tiempo. Por ejemplo, si “f” es una función que toma el tiempo como entrada y da la posición de la pelota en ese momento como salida, entonces la derivada de “f” es cuánto la posición está cambiando en el tiempo, esto es, es la velocidad de la pelota.
Si lafunción es lineal (esto es, la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función puede ser escrita de la forma y = mx + b, donde:

Finalmente llegamos a Isaac Newton (1642-1727), posiblemente la figura más importante de la ciencia moderna.

Newton fue el inventor del Cálculo Diferencial e Integral, que también fue inventado de manera paralela por Gottfried Wilhelm Leibnitz...
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