Número e

NUMERO e
El número e, después de π es el número más importante de las matemáticas. Pero, a diferencia de π entender esa importancia ya no resulta tan sencillo.
El número e surge en las matemáticas quizá treinta siglos después que π. No obstante, se trata de un número que de manera natural se hace presente en muchísimas consideraciones matemáticas. Por ejemplo, es la base de los llamadoslogaritmos naturales. Y la función exponencial f(x) = ex, es la única función que tiene la propiedad de ser igual a su derivada, es decir, f’(x) =f(x). Su importancia en la ingeniería la manifiesta el hecho de que la curva formada por un cable que cuelga de dos postes de igual altura (llamada catenaria), se describe matemáticamente como la gráfica de la función c(x) = ex + e–x. El número e está tambiénpresente en el arte y la naturaleza a través de la espiral logarítmica. Y desde sus primeras apariciones está presente en el cálculo financiero (interés compuesto).
Comenzando por el descubrimiento de los logaritmos por Napier, es realmente una magnífica introducción histórica al cálculo. Es, en ese sentido, un excelente complemento para un curso de cálculo, sea éste en el bachillerato o en lalicenciatura. El maestro puede enriquecer mucho su clase incluyendo muchas de las reflexiones históricas planteadas por Maor. Por ejemplo, recuerda el método de exhausión, usado por Arquímedes para el cálculo de áreas de figuras curvas, que es un muy temprano antecedente del cálculo integral.
Encuentra un motivo excelente para la discusión de la convergencia de sucesiones y de series. Tambiénnarra la histórica controversia entre Newton y Leibniz por el descubrimiento del cálculo y reflexiona sobre las ventajas de las diferentes notaciones de estos dos genios.
El libro resulta un valioso auxiliar para entender mejor muchos temas de la matemática que se enseñan en la escuela y que ahora, gracias a las calculadoras electrónicas, ya no se aprecian, pero que significaron importantes avancesen la capacidad de cálculo hasta la aparición de las primeras computadoras, hace sesenta años. Recuerda Maor el profundo agradecimiento de Kepler a las tablas de logaritmos de Briggs, sucesor de Napier en el estudio de éstos, gracias a las cuales le alcanzó el tiempo de hacer todos los cálculos para poder plantear sus monumentales leyes que explican con sobrecogedora precisión los movimientos delos planetas.

HISTORIA DEL NÚMERO e
En el siglo XVII los matemáticos se preguntaban. Con arreglo a qué ley aumentaría un capital colocado a interés compuesto si el interés se acumulara a cada momento al capital, es decir, sin esperar a transcurrir un año, sino desde el momento que comenzara a producir intereses
Por ejemplo, 1 euro colocado al 100% al cabo de un año tenemos 1 + 1 = 2 euros.Colocados de nuevo al 100% tendríamos al cabo del segundo año 2 + 2 = 4 euros
Al tercer año 4 + 4 = 8 euros.
En general, al cabo de n años tendría (1 + 1)n euros.
Pero, ¿por qué hacer la acumulación al cabo de 1 año?. ¿Por qué no hacerla al cabo de 6 meses?. En ese caso, nuestro euro habría producido 0,5 euros y el capital total se habría convertido en (1 + 1/2) euros. Pero este capitalestaría ahora produciendo intereses durante el medio año restante, lo que resultaría 1/2·(1 + 1/2) euros.
En total.
(1 + 1/2) + 1/2·(1 + 1/2) = (1 + 1/2) · (1 + 1/2) = (1 + 1/2)2= 2,25 euros
¿Y si hiciéramos la acumulación día a día?
(1 + 1/365)365
¿Y si la hacemos hora a hora?
(1 + 1/8760)8760
¿Y si la hacemos segundo a segundo?
(1 + 1/31536000)31536000
Curiosamente, por más quesubdividamos el tiempo, el capital no crece indefinidamente, sino que la sucesión de término general.
Se mantiene por debajo de un límite.
Otro ejemplo. Sea una población de 1.000.000 de individuos que tiene una tasa de crecimiento del 100% cada generación (30 años).
Al cabo de 30 años la población sería. 1.000.000 + 1.000.000 habitantes
1.000.000 · (1 + 1) habitantes
La generación siguiente...