Números Complejos O Imaginarios

Números complejos o imaginarios
Unidad imaginaria.
Se llama así al número y se designa por la letra i .
Números imaginarios.
Un número imaginario se denota por bi , donde :
b es un número real
i es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
Ejemplo:
NOTA: Al menos un número debe tener raíz exacta.
x2 + 9 = 0 se cambiade lugar el número 9
x2 = -9 ya estando hecho el primer paso, el según es eliminar la potencia y eso lo hacemos poniendo a la “x” y al igual ponemos al “-9”
= se saca raíz a la base,en este caso el “9”.
= 3 = el es igual a la i.
x=3i este es el resultado.
Ejercicios:
1.- x2 + 36 = 0
x2 = -36
=
X=
X= 6i



2.- x2 + 63 = 0
x2 =
= -63
X =
X =
X = 3
X = 3

Nota: encaso de no tener raíz exacta la base, buscamos dos número uno con raíz exacta y otro no y que ambos multiplicados me den la base, entonces el número que tiene raíz se pone y el otro se deja indicado como número imaginario, como se muestra a continuación.
3.- x2 + 48 = 0
x2 = -48
=
X =
X = 2
X = 2

4.- x2 + 68 = 0
x2 = -68
=
X =
X = 2
X = 2
5.- x2 + 24 = 0
x2 = - 24
=X =
X = 12i

6.- x2 + 12 = 0
x2 = -12
=
X =
X = 6i

Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
Ejemplo:
i22
i22 = ( i4 )5 · i2 = − 1 se buscan dosnúmeros que multiplicados me den la potencia o al menos se acerquen a esta, y lo que sobre sera lo que le corresponda a la i y ese resto se le suma a la multiplicación.
Ejercicios:
1.- i28 = ( i4)7 = 1
2.- i29 = (i4)7 i = i
3.- i55 = (i4)13. i3 = -i
4.-i347 = (i4) 86 .i3 = i3
5.- i89 = (i4)22 .i1 = i
6.- i24 = (i12)2 = 1
7.- i23 = (i3)7 .i2 = -1
8.- i49 = (i7)7 = 1
9.- i60 = (i12)5 = 110.- i97 = (i9)10 .i7 = -i o -1
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica .
El número a se llama parte real del número complejo.
El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi , y se dice que es un número imaginariopuro.
Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
Componente real y la misma componente imaginaria.
Operaciones de números complejos en la forma binómica.
Suma y diferencia de números complejos.
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando yrestando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí .
Ejemplo:
Nota: para realizar la suma y resta (diferencia) de números complejos es las partes reales (la que no tiene “i” ) sumarlas o restarlas según se indique y las partes imaginarias (las que llevan “i” ) igual, como se muestra en el siguiente ejemplo.
( a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
( a + bi ) − (c + di ) = (a − c) +(b − d)i
Ejercicios:
1.-( 5 + 2 i ) + ( − 8 + 3 i ) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i =
−7 + 7i

2.- (-5 + 4i) – (8-7i) = (-5 -8 = -13) - ( 4i + 7i = 11i) =
-13+11i

3.- ( 8 – 7i) – (-5 + 4i) = ( 8 + 5 ) – ( -7i - 4i ) =
13 – 11i

4.- (8 – 7i ) + ( -5 + 4i) – ( -9 -2i ) = (8-5) + (-7i + 4i) =
(3 – 3i ) + ( -9 – 2i ) =
12 – i

5.- ( 8 -7i) – (-9 – 2i) + ( -5 + 4i) = ( 8+9) –(-7i – 2i) =
(17-9i ) – ( 5 + 4i )=
12 – 5i

6.- (3 + 2i) + (1 + 7i) = ( 3 + 1 ) + ( 2i + 7i ) =
4+ 9i

7.- (4 + 5i ) – (16 + 7i ) = (4 – 16 ) – (5i – 7i) =
-12 – 2i

8.- (-14+8i) + (26 – 2i) – (6+ 4i ) = (-14 + 26 – 6 ) + (8i – 2i – 4i) =
6 + 2i

9.- (56 + 7i) + (-45 -3i ) = ( 56 – 45 ) + ( 7i – 3i ) =
11 + 4i
10.- (4+12i) + (16 – 2i ) = ( 4 + 16 ) + ( 12i – 2i) =
20 + 10i

Multiplicación...