Números complejos

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Números Complejos
1.1 Definición y Propiedades de los Números Complejos
Sea R el conjunto de los números reales. La definición de número complejo se basa en la noción de pareja ordenada de números reales. Como se sabe, si a, b, c, d son elementos de R las parejas ordenadas (a, b), (c, d) se dicen iguales, y se escribe (a, b) = (c, d), si a = c y b = d. De esto resulta que, si b≠a (a, b)±(b,a), es decir, como parejas ordenadas, (a, b) y (b, a) son diferentes. Sea ahora C el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales, en el cual las operaciones suma (+) y producto (.) están definidas por medio de las relaciones siguientes: ������, ������ + ������, ������ = (������ + ������, ������ + ������) ������, ������ . ������, ������ = (������������ − ������������, ������������ +������������) Fácilmente se pueden verificar que las propiedades conocidas para la suma y el producto de números se cumplen también para la suma y la multiplicación en C. Las propiedades 1.3 y 1.5 son las propiedades conmutativas respecto a la suma y el producto, la 1.4 y 1.6 son las propiedades asociativas de la suma y el producto, respectivamente; la propiedad 1.7 es la propiedad distributiva. Ademásexiste un único τ = (0, 0) en C, tal que Para todo z1, z2, z3 en C

1.1 1.2

z1  z 2  z 2  z1 z1  ( z 2  z 3 )  ( z1  z 2 )  z 3 z1 .z 2  z 2 .z1 z1 .( z 2 .z 3 )  ( z1 .z 2 ).z 3 z1 .( z 2  z 3 )  z1 .z 2  z1 .z 3

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

z   z para todo z  C
Existe, también, otro único, w = (1, 0), tal que

1.8

z.w  z para todo z  C

1.9

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Números ComplejosDefinición 1.1 El conjunto C recibe el nombre de conjunto de los números complejos. Los elementos de C se llaman números complejos. Si z = (a, b)ЄC, entonces el número real a se llama parte real, y el número real b se llama parte imaginaria del número complejo z, lo cual se expresa por medio de la notación: a =Re(z), b = Im(z). Los números de la forma z = (a, 0) forman un subconjunto especialde C. En efecto, existe una correspondencia uno a uno entre ese subconjunto y el conjunto R, dada por (a, 0)↔a. Como, además, se tiene que (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) ↔a + b (a, 0) (b, 0) ↔ (ab, 0) Entonces los números complejos de la forma (a, 0) se comportan como números reales, respecto a la suma y al producto. Por lo que se suele identificar a (a, 0) con a, con lo que se obtiene que R  C, demanera que un número real es un número complejo, cuya parte imaginaria es igual a cero. Por otra parte, si se denota por i el número (0, 1) de 1.2 se deduce que (0, 1)2 = (-1, 0), es decir, i2 = -1. El número i, llamado unidad imaginaria, resulta ser una raíz cuadrada de -1. La ecuación z2 + 1 = 0, que no tiene solución en R, tiene en C las soluciones z = i, z = -i, ya que (-i)2 = i2 = -1. Seaahora un número complejo cualquiera z = (a, b). Como (a, 0) + (0,1)(b, 0)=(a, b), resulta que todo z en C se puede representar en la forma

z  a  ib

(a  Re( z), b  Im( z)

1.10

La notación anterior se denomina forma binómica, la cual resulta más fácil de usar que la notación con parejas, se debe tener en cuenta que el cero de los números complejos (0, 0) = 0 +i0 se suele denotar por 0,exactamente como el cero de los números reales. De la definición de suma en C se deduce que dados dos números complejos u, v, la ecuación u + z = v tiene una, y solo una solución z Є C, esta es: z=(c-a, d-b), si u=(a, b) y v = (c, d). De acuerdo a este resultado se tiene la siguiente definición.

Definición 1.2 Dados dos números complejos u, v, el número z solución de la ecuación u + z = v
sellama la diferencia de v menos u, y se denota por v – u.

Ejemplo 1.1 Si u =(3, 1) y v = (2, 4) , determinar v – u. Solución
Escribiendo en forma binómica los complejos se tiene: u = 3 + i, v = 2 +4i, entonces v – u = -1 +3i

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Números Complejos

De manera similar, dados dos números complejos u, v ≠ 0, de la definición de multiplicación en C existe un solo número complejo z, solución...