Números complejos

Números Complejos

Un número complejo es la conjunción entre el conjunto de números reales y un conjunto de números que al elevarlos al cuadrado como resultado queda un número positivo; a este conjunto de números se les llama números imaginarios.
Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236;29854,152).

Esta característica de los imaginarios es posible gracias a la existencia de una constante matemática conocida como identidad imaginaria, denotada mediante i y que tiene la siguiente particularidad:
(i)^2 = −1. Así pues todo número complejo se puede escribir como z = a + ib


La unidad Imaginaria de los Número Complejo es que la representamos con la letra i

De estamanera,

Con la Unidad Imaginaria i se pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, etc.) “como si fuera la x de los polinomios”, con la particularidad especial:



Distintas formas de expresarlo

Par ordenado

Forma Binómica

Forma Polar

Forma Exponencial

Forma Trigonométrica


Forma Binómica (a + bi)

El número a es la parte real del númerocomplejo.
El número bi es la parte imaginaria del número complejo. (Recordemos que a y b pertenecen a los reales)
Los números complejos se representan en los ejes cartesianos; donde:
El eje X se llama eje real.
El eje Y, se llama eje imaginario. 
El número complejo a + bi se representa:
Por el punto (a;b), que se llama su afijo

Representación Gráfica





Tener en cuenta para todaslas expresiones que:

r es el argumento o módulo del numero complejo, se estima usando Pitágoras



es el argumento del número complejo, se estima a partir de la siguiente fórmula:



Siempre tomaremos los valores de a y b POSITIVOS, para estimar el valor del ángulo , debemos tener en cuenta los signos respectivos del seno y del coseno, a partir de ellos podemosubicar al número complejo en uno de los cuatro cuadrantes.










Dependiendo del cuadrante al que pertenece el número obtenemos










Forma Polar

Analicemos un ejemplo concreto











Forma Exponencial

Como pueden observar posee los mismos parámetros que en la Forma Polar , veamos otro ejemplo.Forma Trigonométrica

Ejemplo

























Cálculo vectorial

Definición de vector
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Parahallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hayque tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.




Aplicación y ejemplo
Para poder representar cada vector en estesistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.






Suma y resta de vectores
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:
Se sitúa el punto de...