Números Complejos

NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA

55

CAPÍTULO IV
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
4.1 INTRODUCCIÓN
Los números Complejos constituyen el mínimo conjunto C, en el que se
a donde a R . Un número complejo se
puede resolver la ecuación x 2
escribirá como:

(a, b)

a bi

Donde

1 ; i2

i

1

4.2 ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

(a, b)(c, d )

(a , b ) ( c, d ) ( a c, b d )
( a bi) ( c di) ( a b) ( c
(ac bd , ad bc)

(a bi)(c di)

(ac adi bci bdi 2 )

d )i

(ac bd ) (ad

bd )i

4.3 SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z, w dos números complejos

z
z
w

w

z

( w)
1

zw

Donde
Si w

x

yi entonces w

x

1

x

2

y
y

2

x

2

y2

i

Denominado simétrico multiplicativo4.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
 Los números reales son un subconjunto propio de los números
complejos.

ÁLGEBRA I

56

 Los complejos de la forma (a,b) en los cuales b ≠ 0 se denominan
números imaginarios y si a = 0 se trata de un número imaginario
puro.
a , b ( a , b) ,
 El complejo conjugado de z (a, b) es z
todo número real es su propio conjugado, mientras que elconjugado de un imaginario puro es su opuesto.
 La suma y el producto de dos complejos conjugados es un número
real.
 El cuadrado de todo número imaginario puro es un número real
negativo.
. Si z

Ejemplo 1
a)

2 3i ; w 1 4i

v

2i hallar:

zw
(2 3i ) (1 4i )

2 1 (3 4)i

3i

b) z w

( 2 3i )(1 4i ) ( 2 1 3( 4) ( 2( 4) 3(1)) i
( 2 3i )(1 4i ) 14 5i

( 2 12 ) ( 8 3)ic) z z

(2 3i )(2 3i )
e) w

(4 9) ( 6 6)i

w
(1 4i ) (1 4i )

d) v v

2

v2
( 2i )( 2i )

e)

13

4i 2

4

z
w

z
w

zw

1
17
11
i
17

( 2 3i )
10
17

1

( 2 3i )
4
i
17

1
12

4
42

2
17

12
12
17

42
8
17

i
3
i
17

NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA

57

4.5 REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROSCOMPLEJOS
Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para
representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:

y
r

z x iy
x r cos
y r sin
z r (cos

P(x+yi)
r
θ

x2

r

x

i sin )
y2

z

Conocida como la forma trigonométrica o forma polar de un número
complejo, donde r se conoce como el módulo de z y Ө como el
argumento.

4.6 TEOREMAEl valor absoluto del producto de dos números complejos es el producto
de sus valores absolutos y el ángulo del producto es la suma de sus
ángulos.
Demostración: Sea
z1 r1 cos 1 i sin 1

z2
z1z2

r1 cos

z1z2

r1r2 cos

z1z2

i sin

1

1

1 cos 2

r1r2 (cos

r2 cos
i 2 sin

1 cos 2

z1z2

r2 cos

sin

i sin

2

i sin

2

1 sin 2

r1r2 cos(

1

2i

1 sin 2 )
2)

2

sin

i(sin
i sin(

1 cos 2

1 cos 2
1

cos

1 sin 2

cos 1 sin

2)

2

4.7 TEOREMA
El valor absoluto del cociente de dos números complejos es el cociente

ÁLGEBRA I

58

de sus valores absolutos y el ángulo del cociente es el ángulo del
numerador menos el ángulo del denominador.
Demostración: Sea

z1

r1 cos

1 cos 2

z1
z2

isin

1

z2 r2 cos
r1 cos 1 i sin
r2 cos 2 i sin

z1
z2

z1
z2

r1 cos

i sin
cos
cos

2
1
2

sin

1 sin 2 )
r2 cos2 2

r1
cos(
r2

2
2
2

i(sin
sin

2)

1

1

i sin
i sin

2
2

1 cos 2

cos 1 sin

2

2
2

i sin(

2)

1

Ejemplo 2
Si z1

2 cos

4

i sin

4

;

z2

4 cos

3
4

i sin

3
4

Hallar

a) z1 z 2z1 z2
z1 z2
z1 z2

b)

2 cos

8 cos

4

4

3
4

i sin

4

i sin

4 cos

4

3
4

3
4

i sin

3
4

8(cos

i sin )

8

z1
z2
z1
z2

2 cos

4

3
4 cos
4

i sin

4
3
i sin
4

1
cos
2
4

3
4

i sin

4

3
4

NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA

z1
z2

1
cos
2

2

i sin

59

i
2

2

4.8 FÓRMULA DE...