Números enteros

NÚMEROS ENTEROS

Con los números naturales NO era posible realizar el resultado de la resta (sustracción), de forma que el numero de arriba (minuendo) fuera menor que el que el de abajo (sustraendo), pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor.
Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajocero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Es decir, los naturales, los enteros negativos y el cero. Se dividen en tres partes:enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.


Los números naturales son un subconjunto de los enteros.




Representación de los números enteros en la recta

1. En una recta, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distanciasiguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...




Valor absoluto de un número entero
Se llama valor absoluto de un número entero, al mismo número natural.
Es la distancia que existe entre cualquier número entero y el cero.
Ejemplos: La distancia entre 5 y 0, se simboliza: |5|
La distancia entre –5 y 0, se simboliza: |−5|
Como se puede observar enel ejemplo, los números son distintos, pero la distancia que los separa del número 0 es igual, por lo tanto decimos que estos dos números tiene el mismo valor absoluto o módulo.

|5| = |−5| = 5

Criterios para ordenar los números enteros

Orden en los números enteros
En la recta numérica un número es mayor que cualquiera que se encuentra a su izquierda y menor que cualquier otro que seencuentra a su derecha.

Criterios para ordenar
1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 > −10
|−7| < |−10|

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7 |10| > |7|



Adición de números enteros

1. Si los sumandosson del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8
(−3) + (−5) = −8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2
3 + (−5) = −2

Propiedades de la adición de números enteros
1. Ley de cierreEl resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a + b
3 + (−5)

2. Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2)
0 = 0

3. Ley uniforme (resultado único)
La adición de dos números naturales es uniforme ya que su resultado es único.
Si a ambos miembros de unaigualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad.
a =a b + b
a + b = a + b
c = c

8=8 y 6=6
8 + 6 = 8 + 6
14 = 14

4. Ley cancelativa
Todo sumando que aparece en ambos miembros de una igualdad puede ser cancelado conservando la igualdad.
x + 4 - 7 - 4 = 2 - 7 + 9
Si hay números iguales con diferentes signos (+ y -) en un mismo lado de la ecuación, estos automáticamentese eliminan entre si.
Si hay números iguales con signos iguales en diferentes lados del signo de igualdad, estos también se cancelan entre si.

5. Conmutativa
El orden de los sumandos no varía la adición.
a + b = b + a
2 + (−5) = (−5) + 2
−3 = −3

6. Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la adición porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
(−5) + 0...