Números Enteros

Módulo 1
Unidad 1
Números Enteros

Matemática Discreta
Lic. Alfredo H. Gonzalez

Contenidos
Lectura 1 – Números Enteros

1

1.1 Aritmética

1

1.2 Ordenando los enteros

4

1.3 Definiciones Recursivas

6

1.4 El Principio de Inducción

9

1.5 Cociente y Resto

12

1.6 Divisibilidad

15

1.7 El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

17

1.8Factorización en primos

21

1.9 Ejercicios Adicionales: Números enteros

24

Bibliografía

39

Índice Alfabético

41

Matemática Discreta – Alfredo H. Gonzalez | II

1. Números Enteros
1.1 Aritmética
“La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética es la
reina de la Matemática”, con estas palabras resume el célebre
matemático alemán Carl Friederich Gauss su gusto poresta
rama de la matemática, pero también su importancia. Viniendo
de quien fuese tal vez el más brillante matemático de todos los
tiempos, no deberíamos creer que por trabajar con aritmética de
números enteros, se trate de cuestiones elementales. Si bien, como
veremos, las definiciones son simples, se logra a través de esta
rama una enorme profundidad de pensamiento.

Matemática Discreta –Alfredo H. Gonzalez | III

LECTURA 1

Números Enteros
Este cuadernillo tiene la intención de introducir a los estudiantes en
temas de matemática discreta. Particularmente en el manejo de los números
enteros. Está basado en el libro de Biggs (1993) y tiene aportes de A. Gonzalez, D. Penazzi, A. Tiraboschi y M. Smrekar. Si bien es bastante autocontenido, aquellos estudiantes que deseenprofundizar pueden hacerlo con el
Capítulo 4 del libro de Grimaldi (1998) o también, desde el Capítulo 1 del
libro de Jimenez Murillo (2009).

1.1.

Aritmética

Todo lector de esta lectura conoce los enteros. En una etapa muy temprana de nuestras vidas conocemos los números enteros positivos o “números
naturales”
1, 2, 3, 4, 5, . . .
Más adelante introducimos el 0 (cero), y los enterosnegativos
−1, −2, −3, −4, −5, . . .
En matemática generalmente no nos preocupamos por el significado lógico
y/o filosófico de estos objetos, pero necesitamos saber las propiedades que
se supone que tienen. Si todos parten de las mismas suposiciones entonces
todos llegarán a los mismos resultados. Estos supuestos son los llamados
axiomas.
El punto de vista adoptado en esta lectura es el señaladoantes. Aceptamos sin reparo que existe un conjunto de objetos llamados enteros conteniendo los enteros positivos y los negativos, y el cero, familiares en nuestra temprana educación y experiencia. El conjunto de enteros se denotará
por el símbolo especial Z. Las propiedades de Z serán dadas por una lista
de axiomas, a partir de las cuales seremos capaces de deducir todos los
resultados sobrenúmeros enteros que necesitaremos en las cuestiones subsiguientes. Empezaremos listando aquellos axiomas que tratan la suma y la
multiplicación.
Adoptaremos las notaciones usuales a + b para la suma de dos enteros a
y b, y a × b (o frecuentemente sólo ab) para su producto. Pensamos en + y
1

× como operaciones que a un par de enteros a y b les hacen corresponder un
entero a + b y otro a × b. Elhecho de que a × b y a + b son enteros, y no algún
objeto extraño como elefantes, es nuestra primera suposición (Axioma I1).
En la siguiente lista de axiomas a, b, c denotan enteros arbitrarios, y 0 y
1 denotan enteros especiales que cumplen las propiedades especificadas en
alguno de los siguientes axiomas.
I1.
I2.
I3.
I4.
I5.
I6.
I7.

a + b y ab pertenecen a Z.
a + b = b + a; ab = ba.(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc).
a + 0 = a; a1 = a.
a(b + c) = ab + ac.
Por cada a en Z existe un único entero −a en Z tal que a+(−a) = 0.
Si a es distinto de 0 y ab = ac, entonces b = c.

Todos los axiomas corresponden a propiedades familiares de los enteros
que aprendemos en distintos niveles de nuestra educación matemática. De
ellas pueden deducirse la mayoría de las...