Of flying frogs and levitrons

Eur. J. Phys. 18 (1997) 307–313. Printed in the UK

PII: S0143-0807(97)84689-2

Of flying frogs and levitrons
M V Berry† and A K Geim‡
† H H Wills Physics Laboratory, Tyndall Avenue, Bristol BS8 1TL, UK ‡ High Field Magnet Laboratory, Department of Physics, University of Nijmegen, Toernooiveld, 6525 ED Nijmegen, The Netherlands Received 4 June 1997

Abstract. Diamagnetic objects arerepelled by magnetic fields. If the fields are strong enough, this repulsion can balance gravity, and objects levitated in this way can be held in stable equilibrium, apparently violating Earnshaw’s theorem. In fact Earnshaw’s theorem does not apply to induced magnetism, and it is possible for the total energy (gravitational + magnetic) to possess a minimum. General stability conditions are derived, andit is shown that stable zones always exist on the axis of a field with rotational symmetry, and include the inflection point of the magnitude of the field. For the field inside a solenoid, the zone is calculated in detail; if the solenoid is long, the zone is centred on the top end, and its vertical extent is about half the radius of the solenoid. The theory explains recent experiments by Geim et al,in which a variety of objects (one of which was a living frog) was levitated in a field of about 16 T. Similar ideas explain the stability of a spinning magnet (LevitronTM ) above a magnetized base plate. Stable levitation of paramagnets is impossible.

Samenvatting. Magnetische velden stoten diamagnetische voorwerpen af. Zulke velden kunnen zo sterk zijn dat zij de zwaartekracht opheffen. Het isop deze wijze mogelijk zulke voorwerpen te laten zweven. Dit vormt een stabiel evenwicht, wat in tegenspraak schijnt te zijn met Earnshaw’s Theorema. Echter Earnshaw’s Theorema is niet langer geldig als het magnetisme veld geinduceerd is. De totale energie (bevattende bijdragen van het magnetisme en de zwaartekracht) kan toch een lokaal minimum vertonen. Algemene criteria voor zo’n minimum zullenworden opgesteld. Verder zal worden aangetoond dat voor een cilindrisch symmetrisch veld, langs zijn symmetrie as altijd een zone gevonden kan worden waarin een stabiel evenwicht bestaat. Voor het veld binnen een soleno¨de zal deze zone in ı detail bepaald worden. Als deze spoel voldoende land is bevindt deze zone zich aan het uiteinde van de spoel. De lengte van deze zone langs de symmetrie asvan het veld is ongeveer de helft van de straal van de spoel. Deze theorie geeft een goede verklaring voor de experimenten van Geim et al. In deze experimenten werden een grote verscheidenheid aan verschillende voorwerpen (waaronder een levende kikker) tot zweven gebracht in velden van ongeveer 16 T. Analoge theori¨ n verklaren de stabiliteit van een roterend permanent e magneetje (LevitronTM )boven een magneetische grondplaat. Het is onmogelijk om paramagnetische voorwerpen stabiel te doen zweven.

1. Introduction It is fascinating to see objects floating without material support or suspension. In the 1980s, this became a familiar sight when pellets of the new high-temperature type II superconductors were levitated above permanent magnets, and vice versa (Brandt 1989) (levitation of typeI superconductors had been achieved much earlier (Arkadiev 1947, Shoenberg 1952)). Recently, two other kinds of magnetic levitation have captured the attention of physicists and the general public. In the LevitronTM (Berry 1996, Simon et al 1997, Jones et al 1997), a permanent magnet in the form of a spinning top floats above a fixed base that is also permanently magnetized. In diamagneticlevitation, recently achieved by A K Geim with J C Maan, H Carmona and P Main (Rodgers 1997), small objects (live frogs and grasshoppers, waterdrops, flowers, hazelnuts . . . ) float in the large
0143-0807/97/040307+07$19.50

(16 T) magnetic field inside a solenoid. As well as being striking to the eye, magnetic levitation is particularly surprising to physicists because of the obstruction presented by...