Oimpiadas matemás

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ticasEntrenamiento ONEM 2011
Tercera Fase www.facebook.com/editorial.binaria e.binaria@gmail.com

Problema 1. ¿Cu´ntos tri´ngulos rect´ngulos pueden formarse uniendo tres v´rtices a a a e de unpol´ ıgono regular de 14 lados?
perfecto?

Problema 2. ¿Para cu´ntos enteros n (1 ≤ n ≤ 2010) el n´mero nn es un cuadrado a u Problema 3. ¿Para cu´ntos enteros n (1 ≤ n ≤ 200) el n´mero nn × (n −1)n−1 es a u Problema 4. Sea abcd un n´mero de cuatro d´ u ıgitos, calculamos el valor absoluto

un cuadrado perfecto?

de la diferencia abcd − dcba y de esta forma obtenemos cierto n´ meronatural, ¿como u m´ximo cu´ntos d´ a a ıgitos 5 puede tener este n´ mero? u

Problema 5. Sea ABC un tri´ngulo is´sceles tal que AB = AC. Suponga que la a o bisectriz del ´ngulo ∠B intersecta a AC en D yque BC = BD + AD. Calcule la medida a de ∠A. Problema 6. Determine el n´mero de soluciones del siguiente sistema: u
sen 2010x = cos x, cos 2010x = sen x. Considere que x ∈ 0; 2π .

Problema 7.Encuentre el n´mero de soluciones reales de la siguiente ecuaci´n u o
x= 2+ 2− √ 2 + x.

manera que estos 4 cuadraditos pintados formen un tetramin´. ¿De cu´ntas formas se o a puede hacer esto? Untetramin´ es una figura formada por 4 cuadraditos. Existen cinco o tipos de tetramin´s (sin considerar rotaciones ni reflejos), estos son o

Problema 8. Se pintan de negro 4 cuadraditos de un tablerode 5 × 5, de tal

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Problema 9. Un paralelogramo tiene longitudes de lados enteras y longitudes de
diagonales 40 y 42.¿Cu´l es su ´rea? a a

Problema 10. Sea n un entero positivo tal que 2n y 5n empiezan con los mismos
tres d´ ıgitos. ¿Cu´les son esos tres d´ a ıgitos? Dar como respuesta la suma de esos d´ıgitos.

Jorge Tipe Villanueva jorgetipe@gmail.com Juan Neyra Faustino juan.neyra@gmail.com Lima, setiembre de 2011.

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