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Páginas: 5 (1080 palabras)
Publicado: 19 de marzo de 2013
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Divisibilidad y teorema del Resto
1. - Efectuar las siguientes divisiones:
a) P(x)=6x6+4x5+3x3‑2 entre Q(x)=x3+6
b) P(x)=4x3‑23x‑5 entre Q(x)=2x‑5
c) P(x)=2x3‑x+8 entre Q(x)=3x+1
d) P(x)=x6 - 2x5 + 2x + 5 entre Q(x)=x - 2
e) P(x)=x6 + y6 entre Q(x)=x - m
f) P(x)=x2 - m2 entre Q(x)=x - m
2. - En una división de polinomios se conoce eldividendo P, el cociente C y el resto R. Calcular el divisor Q.
P(x)=6x5+4x4‑13x3+8x2+11x‑14 ; C(x)=3x2+2x‑5 ; R(x)=x2+1
3. - Sin efectuar la división, averigua cuales de los polinomios siguientes son divisibles por x+2.
a) x3+8 b) x5‑32 c) x6‑64
4. - Haciendo uso de la regla de RUFFINI, halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones.
a) 3x5+6x3‑7x2+2x‑7 entrex‑3
b) x4‑7x2+9x‑1/2 entre x+1/3
c) x5 entre x‑4
d) ‑x6+x3 entre x+1
e) 3x2‑6x+5 entre 6x+5
f) x5‑5x+3 entre 2x‑3
5. - Efectúa la siguiente división, sin desarrollar las potencias:
[x+2]3×[x‑3]2 : [x+2]×[x‑3]
6. - Siendo P(x)=3x3‑2x+1, indicar si los siguientes números son raíces de P(x). a=2; b=‑1; c=3; d=0
7. - Para que el polinomio x3 - mx2 + x + 6 seadivisible por x + 2, ¿ cómo hallarías el valor de m ?
8. - Halla el valor de K para que el polinomio x3 + 2x2 - 3x + K sea divisible por x - 3.
9. - ¿ Es divisible el polinomio x4 + x3 - 2x + 12 por x + 2 ? En caso contrario, ¿ qué valor debe tomar el término independiente para que ello sea posible ?
10. - Calcula cuánto ha de valer K en los polinomios siguientes para que el resto de lasdivisiones sea -8 :
a) 9x4 + 2x3 + K : x - 5 b) 13x5 - K : x - 5
c) 2x5 - 4x + K : x - 2
11. - Halla el valor que hay que dar a k en la expresión 2x3 - 5x2 + x + K ,para que al dividirla por x - 2, se obtenga de resto 6.
12. - Determinar k para que el polinomio x4-kx3+5x+3 sea divisible por x+4.
13. - Ídem para el polinomio x3+2/3x2+kx+7/9 sea divisible por x+1/3.
14. - ¿ Quérelación debe haber entre m y n para que x2 + 2mx - 4n - 4 sea divisible por x - 2 ?
15. - Halla la relación entre t y h para que el polinomio 5x4 - tx2 + 3x - 2h sea divisible por x - 1.
16. - Calcula los valores de m y p de manera que el polinomio mx3+px2-9x+18 se anule cuando se reemplaza x por 2 y cuando se sustituye x por -3.
17. - Calcula los valores de m y n para que sea exacta ladivisión siguiente :
x4 - 5x3 + 4x2 + nx - m : x2 - 2x + 3
18. - Determinar un polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal sea 3, cuyo valor numérico para x=0 sea 1, que no tenga termino en x2, que sea divisible por x-2 y cuyo resto al dividir por x+1 sea -
Factorización
19. - Hallar un polinomio de quinto grado cuyas raíces sean 1, -1, 1, -2, 1/4 y tal que su valor numérico en 0sea 16.
20. - Escribir un polinomio cuyas raíces sean:
a) 3, 2, ‑1; b) 0, 3, ‑1, 1; c) 2(doble), 3; d) 1, 4/3, ‑2
21. - Escribir un polinomio de grado 3 cuyos ceros sean :
a) ‑1, 2; b) 0; c) 2, 3, ‑1, 4
22. - Factorizar los siguientes polinomios:
a) x5 + 3x4 - 5x3 -19x2 + 20
b) x4 - 7x3 + 7x2 + 6x
c) 4x5 + 7x4 - 7x3 - 10x2
d) x4‑3x3‑8x2+12x+16
e) 8x3‑4x2‑10x‑3
f)x4+x3+5x2‑x‑6
g) x4‑x2
h) x5‑2x4‑8x3+16x2+16x‑32
M.C.D y M.C.M
23. - Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:
a) x3-3x2+4 y 3x3-18x2+36x-24
b) x4-3x2+2x ; x4-6x3+5x2 y x3-2x2+x
c) 4x3-12x2+9x-2 y 2x2-2
24. - Sean p(x) = x5+x4-8x3-8x2+16x+16
q(x) = x5+2x4-2x3-4x2+x+2
a) Descomponer p(x) y q(x) en producto de factores primos óirreducibles.
b) Resolver las ecuaciones p(x) = 0 y q(x) = 0.
c) Hallar el m.c.d.[p(x),q(x)] y el m.c.m.[p(x),q(x)].
25. - Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios que se indican en cada apartado. Usar para ello, siempre que sea posible, el método de EUCLIDES.
a) P(x)=x4‑2x2+1 y Q(x)=x2+x‑2
b) P(x)=4x4+4x3+9x2+8x+2 y Q(x)=8x3‑4x2‑10x‑3
c) P(x)=x‑3;...
Divisibilidad y teorema del Resto
1. - Efectuar las siguientes divisiones:
a) P(x)=6x6+4x5+3x3‑2 entre Q(x)=x3+6
b) P(x)=4x3‑23x‑5 entre Q(x)=2x‑5
c) P(x)=2x3‑x+8 entre Q(x)=3x+1
d) P(x)=x6 - 2x5 + 2x + 5 entre Q(x)=x - 2
e) P(x)=x6 + y6 entre Q(x)=x - m
f) P(x)=x2 - m2 entre Q(x)=x - m
2. - En una división de polinomios se conoce eldividendo P, el cociente C y el resto R. Calcular el divisor Q.
P(x)=6x5+4x4‑13x3+8x2+11x‑14 ; C(x)=3x2+2x‑5 ; R(x)=x2+1
3. - Sin efectuar la división, averigua cuales de los polinomios siguientes son divisibles por x+2.
a) x3+8 b) x5‑32 c) x6‑64
4. - Haciendo uso de la regla de RUFFINI, halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones.
a) 3x5+6x3‑7x2+2x‑7 entrex‑3
b) x4‑7x2+9x‑1/2 entre x+1/3
c) x5 entre x‑4
d) ‑x6+x3 entre x+1
e) 3x2‑6x+5 entre 6x+5
f) x5‑5x+3 entre 2x‑3
5. - Efectúa la siguiente división, sin desarrollar las potencias:
[x+2]3×[x‑3]2 : [x+2]×[x‑3]
6. - Siendo P(x)=3x3‑2x+1, indicar si los siguientes números son raíces de P(x). a=2; b=‑1; c=3; d=0
7. - Para que el polinomio x3 - mx2 + x + 6 seadivisible por x + 2, ¿ cómo hallarías el valor de m ?
8. - Halla el valor de K para que el polinomio x3 + 2x2 - 3x + K sea divisible por x - 3.
9. - ¿ Es divisible el polinomio x4 + x3 - 2x + 12 por x + 2 ? En caso contrario, ¿ qué valor debe tomar el término independiente para que ello sea posible ?
10. - Calcula cuánto ha de valer K en los polinomios siguientes para que el resto de lasdivisiones sea -8 :
a) 9x4 + 2x3 + K : x - 5 b) 13x5 - K : x - 5
c) 2x5 - 4x + K : x - 2
11. - Halla el valor que hay que dar a k en la expresión 2x3 - 5x2 + x + K ,para que al dividirla por x - 2, se obtenga de resto 6.
12. - Determinar k para que el polinomio x4-kx3+5x+3 sea divisible por x+4.
13. - Ídem para el polinomio x3+2/3x2+kx+7/9 sea divisible por x+1/3.
14. - ¿ Quérelación debe haber entre m y n para que x2 + 2mx - 4n - 4 sea divisible por x - 2 ?
15. - Halla la relación entre t y h para que el polinomio 5x4 - tx2 + 3x - 2h sea divisible por x - 1.
16. - Calcula los valores de m y p de manera que el polinomio mx3+px2-9x+18 se anule cuando se reemplaza x por 2 y cuando se sustituye x por -3.
17. - Calcula los valores de m y n para que sea exacta ladivisión siguiente :
x4 - 5x3 + 4x2 + nx - m : x2 - 2x + 3
18. - Determinar un polinomio de cuarto grado cuyo coeficiente principal sea 3, cuyo valor numérico para x=0 sea 1, que no tenga termino en x2, que sea divisible por x-2 y cuyo resto al dividir por x+1 sea -
Factorización
19. - Hallar un polinomio de quinto grado cuyas raíces sean 1, -1, 1, -2, 1/4 y tal que su valor numérico en 0sea 16.
20. - Escribir un polinomio cuyas raíces sean:
a) 3, 2, ‑1; b) 0, 3, ‑1, 1; c) 2(doble), 3; d) 1, 4/3, ‑2
21. - Escribir un polinomio de grado 3 cuyos ceros sean :
a) ‑1, 2; b) 0; c) 2, 3, ‑1, 4
22. - Factorizar los siguientes polinomios:
a) x5 + 3x4 - 5x3 -19x2 + 20
b) x4 - 7x3 + 7x2 + 6x
c) 4x5 + 7x4 - 7x3 - 10x2
d) x4‑3x3‑8x2+12x+16
e) 8x3‑4x2‑10x‑3
f)x4+x3+5x2‑x‑6
g) x4‑x2
h) x5‑2x4‑8x3+16x2+16x‑32
M.C.D y M.C.M
23. - Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios:
a) x3-3x2+4 y 3x3-18x2+36x-24
b) x4-3x2+2x ; x4-6x3+5x2 y x3-2x2+x
c) 4x3-12x2+9x-2 y 2x2-2
24. - Sean p(x) = x5+x4-8x3-8x2+16x+16
q(x) = x5+2x4-2x3-4x2+x+2
a) Descomponer p(x) y q(x) en producto de factores primos óirreducibles.
b) Resolver las ecuaciones p(x) = 0 y q(x) = 0.
c) Hallar el m.c.d.[p(x),q(x)] y el m.c.m.[p(x),q(x)].
25. - Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios que se indican en cada apartado. Usar para ello, siempre que sea posible, el método de EUCLIDES.
a) P(x)=x4‑2x2+1 y Q(x)=x2+x‑2
b) P(x)=4x4+4x3+9x2+8x+2 y Q(x)=8x3‑4x2‑10x‑3
c) P(x)=x‑3;...
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