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EJERCICIOS
Cálculo I. Curso 2012-2013

Tema 1

Números complejos

Números complejos
Ejercicio 1.1.

3

Hallar los complejos z1 y z2 tales que el valor principal del logaritmo

neperiano de su producto vale ln 2 y su cociente es igual a (2eiπ/3 )3 .
Ejercicio 1.2.

Dados los complejos z1 = 3eiπ/4 y z2 = 4i, calcular las expresiones siguien-

tes, expresando el resultado enla forma que se estime conveniente:
z1 + z2 ,
Ejercicio 1.3.

z1 z2 ,

2 2 z1 /z2 .

Hallar las raíces de la ecuación x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − 2 = 0. Hallar el módulo y el argumento del complejo z que verica la ecuación,

Ejercicio 1.4.

z i = 1 + i.
Ejercicio 1.5.

Hallar los respectivos módulos y argumentos de dos números complejos

sabiendo que su producto es −27 y que uno deellos es el cuadrado del otro.
Ejercicio 1.6.

Una de las raíces cúbicas de un número complejo es 1 + i. Hallar las otras

dos raíces de ese número complejo.
Ejercicio 1.7.

Hallar la suma de complejos z1 + z2 + z3 + z4 + z5 , siendo:

1. z1 = eln 2+iπ . 2. z2 = 32/(1 + i)5 . 3. z3 es el conjugado de −1/2i. 4. z4 , z5 son las raíces de z 2 + i = 0.
Ejercicio 1.8.

Hallar los númeroscomplejos z1 , z2 , z3 , z4 , tales que:

1. z1 = (1 + i)7 + 4(1 + i)3 . 2. z2 es el valor principal de ln
1+i . 1−i

3. z3 , z4 son las soluciones de la ecuación (3 − 2i)z 2 − 6i − 4 = 0.
Ejercicio 1.9.

Calcular el módulo de z =

π i2π

i

utilizando valores principales.

4
Ejercicio 1.10.

Números complejos Hallar el valor principal de
ln −6 + 8i z

siendo z = 4 + bi, talque b = 6 sen θ, considerando a θ como el menor de los argumentos de las raíces cúbicas de i.
Ejercicio 1.11.

Hallar los valores del complejo z en la ecuación, (z + 1)3 + i(z − 1)3 = 0. Expresar en forma binómica
z= 1 1 + i 2 2
10

Ejercicio 1.12.

+ e−1+iπ/2 .

Ejercicio 1.13.

Resolver la ecuación sen z = 2. Hallar los valores de z en (z + 2i)3 + (z + i)3 = 0. Obtener las raíces dela ecuación z 6 − 9z 3 + 8 = 0, expresándolas en

Ejercicio 1.14.

Ejercicio 1.15.

forma binómica.
Ejercicio 1.16.

Hallar el valor de los números reales a, b, c para que la suma de los

complejos z1 = a + bi y z2 = −1 + ci, sea igual a 1 + 6i, y el cociente z1 /z2 sea un número imaginario puro.
Ejercicio 1.17.

Escribir en forma binómica z =

8 . (1 − i)5
1−i

Ejercicio 1.18.Hallar el módulo y el argumento de z = e 1+i .
9π Hallar el argumento de un complejo de la forma A = (1 + i)( 4 +i ln 2)

√

Ejercicio 1.19.

que tenga como módulo la unidad.
Ejercicio 1.20.

Expresar en forma binómica los números complejos z1 y z2 sabiendo que:
3π i. 2 √ √ z1 /z2 es − 2 − 2 i.

1. La parte principal del ln(z1 z2 ) es 2. Una de las soluciones de

Númeroscomplejos
Ejercicio 1.21.

5

Hallar los complejos z1 , z2 tales que,

1. z1 = (1 + i)7 + 4(1 + i)3 . 2. z2 es el valor principal de z siendo z i = 1 + i.
Ejercicio 1.22.

Hallar los respectivos módulos y argumentos de los complejos z1 , z2 sa3π i. 2

biendo que: 1. El valor principal de ln(z1 z2 ) es
√ z1 1 3 2. = − i. z2 2 2
Ejercicio 1.23.

Calcular el módulo y el argumento de z queverica la expresión
3z = (1 + i)10 . eπi/2

Ejercicio 1.24.

Obtener las raíces de la ecuación x5 − 2x4 + x3 − 2x2 + x − 2 = 0. Dibujar el polígono cuyos vértices A, B, C, D son, respectivamente, los

Ejercicio 1.25.

ajos de los números complejos z1 , z2 , z3 , z4 , donde: 1. z1 = (1 + i)8 + 4(1 + i)5 . 2. Es la solución de la ecuación 2ei/z − 1 − 3 i = 0 (Tomar el valor principal). 3.z1 , z2 son las soluciones de la ecuación z 2 +
Ejercicio 1.26.

√

1 = 0. i

Resolver la ecuación x4 + 1 = 0.

Tema 2

Funciones de una y varias variables

Funciones de una y varias variables
Funciones de una variable

9

Ejercicio 2.1.

Calcular
x→0

l´ xsen x ım

1 sen x − 2 2 x cos x

.

Ejercicio 2.2.

Hallar los puntos en los que la función
y = exp x2 x2...