Olimpiada Matemática
Páginas: 2 (425 palabras)
Publicado: 22 de octubre de 2012
XLVII Olimpiada Matem´tica Espa˜ola a n
Primera Fase Primera sesi´n o S´bado ma˜ana, 22 de enero de 2011 a n
Olimpiada Matemática Española
RSME
1. Sean n1 y n2 dos n´meros naturales.Demuestra que la suma u un n´mero entero o un n´mero irracional. u u
√
n1 +
√ 3
n2 es
2. Demuestra que en un tri´ngulo se verifica: si r es una recta que pasa por su a baricentro y no pasa porning´n v´rtice, la suma de las distancias a dicha u e recta de los v´rtices que quedan en un mismo semiplano es igual a la distancia e del tercer v´rtice a dicha recta. e 3. En un hex´gono regular delado unidad se sit´an 19 puntos. Demuestra que a u √ hay al menos un par de ellos separados por una distancia no mayor que 3/3.
No est´ permitido el uso de calculadoras. a Cada problema se punt´ asobre 7 puntos. u El tiempo de cada sesi´n es de 3 horas y media. o
XLVII Olimpiada Matem´tica Espa˜ola a n
Primera Fase Segunda sesi´n o S´bado tarde, 22 de enero de 2011 a
Olimpiada MatemáticaEspañola
RSME
4. Halla todas las ternas de n´meros enteros positivos a ≤ b ≤ c primitivas (es u decir, que no tengan ning´n factor primo com´n) tales que cada uno de ellos u u divide a la sumade los otros dos. 5. Halla todas las ternas (x, y, z) de n´meros reales que son soluciones del sisu tema de ecuaciones ⎫ 3 · 2y − 1 = 2x + 2−x , ⎪ ⎬ 3 · 2z − 1 = 2y + 2−y , ⎪ ⎭ 3 · 2x − 1 = 2z + 2−z .6. En una reuni´n entre cuatro pa´ de la ONU, digamos A, B, C y D, el pa´ o ıses ıs A tiene el doble de representantes que el B, el triple que el C, y el cu´druple a que el D. Se pretendedistribuir a los representantes en mesas con el mismo n´mero de personas en cada una. S´lo hay una condici´n: en cada mesa, u o o cualquiera de los paises debe estar en inferioridad num´rica respecto de los eotros tres juntos. ¿Cu´ntos representantes debe haber en cada mesa, como a m´ ınimo?
No est´ permitido el uso de calculadoras. a Cada problema se punt´ a sobre 7 puntos. u El tiempo de cada...
Primera Fase Primera sesi´n o S´bado ma˜ana, 22 de enero de 2011 a n
Olimpiada Matemática Española
RSME
1. Sean n1 y n2 dos n´meros naturales.Demuestra que la suma u un n´mero entero o un n´mero irracional. u u
√
n1 +
√ 3
n2 es
2. Demuestra que en un tri´ngulo se verifica: si r es una recta que pasa por su a baricentro y no pasa porning´n v´rtice, la suma de las distancias a dicha u e recta de los v´rtices que quedan en un mismo semiplano es igual a la distancia e del tercer v´rtice a dicha recta. e 3. En un hex´gono regular delado unidad se sit´an 19 puntos. Demuestra que a u √ hay al menos un par de ellos separados por una distancia no mayor que 3/3.
No est´ permitido el uso de calculadoras. a Cada problema se punt´ asobre 7 puntos. u El tiempo de cada sesi´n es de 3 horas y media. o
XLVII Olimpiada Matem´tica Espa˜ola a n
Primera Fase Segunda sesi´n o S´bado tarde, 22 de enero de 2011 a
Olimpiada MatemáticaEspañola
RSME
4. Halla todas las ternas de n´meros enteros positivos a ≤ b ≤ c primitivas (es u decir, que no tengan ning´n factor primo com´n) tales que cada uno de ellos u u divide a la sumade los otros dos. 5. Halla todas las ternas (x, y, z) de n´meros reales que son soluciones del sisu tema de ecuaciones ⎫ 3 · 2y − 1 = 2x + 2−x , ⎪ ⎬ 3 · 2z − 1 = 2y + 2−y , ⎪ ⎭ 3 · 2x − 1 = 2z + 2−z .6. En una reuni´n entre cuatro pa´ de la ONU, digamos A, B, C y D, el pa´ o ıses ıs A tiene el doble de representantes que el B, el triple que el C, y el cu´druple a que el D. Se pretendedistribuir a los representantes en mesas con el mismo n´mero de personas en cada una. S´lo hay una condici´n: en cada mesa, u o o cualquiera de los paises debe estar en inferioridad num´rica respecto de los eotros tres juntos. ¿Cu´ntos representantes debe haber en cada mesa, como a m´ ınimo?
No est´ permitido el uso de calculadoras. a Cada problema se punt´ a sobre 7 puntos. u El tiempo de cada...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.