Olimpiadas matematicas

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PROBLEMAS FASE DE DISTRITO

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2.- Dada la recta x = a, un punto M(x1,y1) se proyecta ortogonalmente sobre x = a en D y se traza OM que corta a x = a en B. Una paralela a OX por B corta a OD en N. Hallar la ecuación del lugar geométrico. de N cuando M describe la circunferencia (x-b)2 + y2 = b2.

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4.-a) Determinar el movimiento resultante de tres simetrías centrales respecto alos vértices de un triángulo equilátero de lado 3 cm. Estudiar si el producto es conmutativo.
b) Idem simetrías axiales respecto a las mediatrices. Estudiar el grupo que engendran.

5.-Determinar x, y, z en el número 33xy49z para que sea múltiplo de 693.

6.- Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B , estudia el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que PM seamedia proporcional entre PA y PB.

7.- Determina la relación entre b y c para que estén en progresión aritmética las raíces de

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8 - Construir y resolver un triángulo rectángulo en A, conocidos c y a + b.

9.- Al dividir p(x) por (x + 2), (x - 2) y por (x + 3) se obtienen los restos 4, 8 y 13, respectivamente. Determinar el resto de dividir p(x) por (x + 2)(x - 2)(x + 3).

10.-Enel cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se trazan los arcos BD y AC con centro en C y en D respectivamente, y radio a. Los dos arcos se cortan en M. Hallar el radio del círculo inscrito en el triángulo curvilíneo DMC.

11.- Hallar la suma: [pic]

calculando sus valores para n = 1, 2, 3, 4 para luego demostrar la fórmula por inducción.

12.- Sobre un segmento AB = 2a, tomado comobase, se construyen tres triángulos isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, 2a y 3a. Demostrar que C + C' + C" = 180º.

13.- Se considera el triángulo ABC en el que A = 70º, B = 60º, y el triángulo A'B'C' formado por los pies de las alturas del ABC. Hallar los ángulos A', B', C'.

14.- Demostrar que los números de la serie 16, 1156, 111556, 11115556, ...que se van obteniendointercalando 15 entre las cifras centrales, son siempre cuadrados perfectos.

15.- Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.

16.- Sobre el anillo de los números enteros descomponer el polinomio P = x5-209x+56 en producto de dos factores, sabiendo que se anula para dos valores x1, x2 recíprocos entre sí.

17.-Dados dos puntos A y B dela Tierra, supuesta esférica, tales que AB = 60º, hallar la relación entre las alturas x e y, a que deben elevarse dos observadores en las verticales de A y de B para que puedan verse y su valor concreto cuando sea x = y.

18.- Hallar los polígonos regulares cuyos ángulos miden un número entero de grados.

19.- Un depósito cerrado tiene la forma de un cilindro "tumbado" acabado en dossemiesferas por sus lados. Graduar una varilla para medir verticalmente el volumen de liquido contenido en el depósito en función del la altura marcada en la varilla.

20.- Expresar (x - y)4 como función polinómica de s = x + y, y de p = xy.

21.- Determinar el conjunto de puntos P(x,y) tales que sen(x + y) = senx + seny.

22.- En el conjunto de puntos del plano de coordenadas enteras sedefine una relación de equivalencia por la condición de ser las primeras coordenadas congruentes módulo 2 y las segundas congruentes módulo 3. Se pide :

a) Número de clases de equivalencia.

b) Buscar el representante de cada clase que está a distancia mínima del origen.

c) Se definen una suma y un producto componente a componente, módulo 2 y 3 en cada una respectivamente. Comprobar que es unanillo y hallar sus divisores de cero.

23.- Resolver la ecuación z3=1 y probar que las tres raíces obtenidas forman un grupo multiplicativo. Tabla del grupo.

24.- Construir un rectángulo conociendo un lado a = 6 y la diferencia d-b = 4 entre la diagonal y el otro lado.

25.- Hallar los valores n (entero positivo) para los que N = 28 +211 + 2n es n cuadrado perfecto.

26.- Dos puntos A y...
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