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VII Olimpiada Colombiana de Matem´tica Universitaria a Ronda Final - Solucionario Diciembre de 2003
COMENTARIOS GENERALES:

El presente solucionario proporciona al menos una soluci´n a cada problema de la Prueba Final de la o VII Olimpiada Colombiana de Matem´tica Universitaria y muestra como todos estos problemas pueden a solucionarse utilizando conceptos pertenecientes a la matem´tica quepuede ver un estudiante de pregrado a que durante su carrera asista a cursos de c´lculo y algebra (aqui hay que aclarar que durante la prueba a los estudiantes recibieron una hoja con algunas definiciones de conceptos en caso tal que no estuvieran familiarizados con ellos) . Si se da m´s de una soluci´n a un problema, el prop´sito es ilustrar un contraste a o o significativo de m´todos, por ejemplo,algebraico vs. geom´trico, conceptual vs. computacional, elemene e tal vs. avanzado. Estas soluciones no son de manera alguna, las unicas posibles ni son necesariamente ´ superiores a las que el lector pueda idear. Esperamos que los profesores trabajen estas soluciones con sus alumnos, tanto para ilustrar el ingenio que interviene en la soluci´n de problemas no rutinarios como para que tenganoportunidad de conocer o una buena exposici´n matem´tica. En las exposiciones a veces se omiten c´lculos rutinarios o razones o a a obvias para un procedimiento determinado. Esto permite dar mayor ´nfasis a las ideas esenciales que e subyacen a cada soluci´n. Recordamos que la reproducci´n de estas soluciones est´ protegida por las leyes o o a que protegen el derecho de autor. Cualquier inquietud uobservaci´n acerca de los problemas y soluciones de la Ronda Final puede dirigirse o a

Mar´ Falk de Losada ıa Sandor Orteg´n Pineda o Olimpiadas Colombianas de Matem´ticas a Cra. 38 # 58A−77 Santaf´ de Bogot´. e a http://olimpia.uan.edu.co http://groups.yahoo.com/group/matematica universitaria 1

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
Prueba Final - VII Olimpiada Colombiana de Matem´ticaUniversitaria a 1. (4 puntos) Se lanzan en una ocasi´n dos monedas diferentes, una despu´s de otra. Si la probabilidad o e de obtener dos caras en dicho experimento es igual a la probabilidad de obtener dos sellos, demuestre que la probabilidad de obtener una cara y un sello en el experimento es mayor o igual que la probabilidad de obtener o dos caras o dos sellos. Indicaci´n: Se asume que loslanzamientos de las dos monedas son independientes el uno del otro y que o 1 la probabilidad de obtener una cara o un sello en un lanzamiento no es necesariamente igual a , ni es 2 necesariamente igual para ambas monedas. Soluci´n. o Llamemos M1 y M2 a las dos monedas. Sean x, y las probabilidades de obtener cara al lanzar M1 y M2 en una ocasi´n, respectivamente. Entonces las probabilidades de obtenersello al lanzar M1 y M2 en una o ocasi´n son 1 − x, 1 − y respectivamente. En consecuencia, para el experimento que consiste en lanzar las o dos monedas, una despu´s de la otra, se tienen las siguientes igualdades: e Pr(Obtener 2 caras) = xy Pr(Obtener 1 cara y un sello) = x(1 − y) + y(1 − x) Pr(Obtener 2 caras) = (1 − x)(1 − y) De la hip´tesis del problema concluimos que (1 − x)(1 − y) = xy, es decir1 − (x + y) + xy = xy, y por o tanto x + y = 1. En consecuencia, Pr(Obtener 1 cara y un sello) = x(1 − y) + y(1 − x) = x2 + y 2 , mientras que Pr(Obtener o dos caras o dos sello) = xy + (1 − x)(1 − y) = 2xy. El probema se reduce entonces a verificar que x2 + y 2 ≥ 2xy, o lo mismo (x − y)2 ≥ 0, lo cual claramente se cumple. Esto completa la soluci´n. o 2. (4 puntos) Un paralelep´ ıpedo rectangulartiene la propiedad que el ´rea de su superficie es igual a a 18 unidades cuadradas y la suma de las distancias desde el centro del mismo a las seis caras es igual a 6 unidades. Determine el conjunto de valores que puede tomar el volumen del paralelep´ ıpedo. Soluci´n. Respuesta: Todos los valores (en unidades c´bicas) en el intervalo (0, 4] o u Sean a, b y c las dimensiones (“alto, largo y...