Operaciones Binarias

Se denomina base de un sistema de numeración a la cantidad de símbolos que posee el sistema. La base del sistema Decimal es 10 y la del Binario es 2.

Si se analiza el sistema decimal, se puede decir que todo número se representa mediante una sucesión de símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cada símbolo tiene un determinado valor absoluto, que es el que le corresponde cuando está solo, y undeterminado valor relativo según la posición que ocupe dentro de un número. Los hindúes descubrieron esta propiedad en el siglo 1 después de Cristo. Por ejemplo, en el número 1328 a pesar de que 1 tiene menor valor absoluto que 3, 2 y 8, posee mayor valor relativo por la posición en la que se encuentra dentro del número.

Suma en binario

Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad,tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

|+ |0 |1 |
|0 |0 |1 |
|1 |1 |0 + 1 |


Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 sonevidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1


Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 210 + 510 = 710
001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 101101019110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

Ejercicio 1:

Realiza las siguientes sumas de números binarios:

111011 + 110
111110111 + 111001
10111 + 11011 + 10111


Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal paracomprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.



|- |0 |1 |
|0 |0 |1 |
|1 |1 + 1 |0 |


Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0


La resta 0 - 1 se resuelve,igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1.  Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 – 101 = 010 710 – 510 = 210

10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 48910 –36510 = 12410






Ejercicio 2:

Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:

111011 - 110

111110111 - 111001

1010111 - 11011 – 10011

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos apensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

        100110011101         1001    1001    1101

        010101110010         0101    0111    0010

        010000101011        0100    0010    1011



Calculando el complemento a dos del sustraendo

Complemento a dos

El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:

N = 4510    n = 6    26 = 64    y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112

Ejercicio 3:

Calcula...