Operaciones Elementales Con Vectores

OPERACIONS ELEMENTALES CON VECTOR

La definición clásica de vectores define a un vector como aquella cantidad en la que cumple con las siguientes características:
a). Tiene magnitud 
                                       
b). Dirección. Indicado el ángulo con respecto a un eje (por ejemplo, la horizontal)
 
c). Sentido. Indicado por la dirección de la flecha.Notación con vectores
Las siguientes notaciones son las mas típicas para representar a los vectores:

Operaciones básicas entre vectores 
La suma de vectores
Sean los vectores

la suma se define como

La resta de vectores

El producto escalar o producto punto

donde para este producto hay que considerar la siguiente convención

En principio podemos observar que bajo estadefinición el producto escalar entre dos vectores se realiza como si estuviéramos multiplicando dos polinomios

LEY DEL PARALELOGRAMO
Nos sirve para sumar dos vectores simultaneos.
 
1.-Consiste en dibujar los dos vctores a escala con sus origenes coinsidiendo con el origen
 
2.-Los vectores forman de esta manera los lados adyasentes de un paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujandolíneas paralelas en los vectores de igual magnitud.
 
3.-La resultante se obtendrá de la diagonal del paralelogramo a partir del origen común de los vectores.

En matemática, la forma más simple de la ley del paralelogramo pertenece a la geometría elemental. Ésta postula que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadradosde las longitudes de las dos diagonales de éste. Utilizando la notación del paralelogramo mostrado en la figura de la derecha, se puede escribir matemáticamente como:

En el caso de que el paralelogramo sea un rectángulo, las dos diagonales son iguales y la ley se reduce al teorema de Pitágoras. Pero en general, no se cumple que el cuadrado de una diagonal sea igual a la suma de los cuadrados dedos lados.

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Espacios vectoriales normados que satisfacen la ley del paralelogramo
La mayoría de espacios vectoriales normados reales y complejos no poseen producto interno, pero todos los espacios vectoriales normados tienen norma (por definición), y por lo tanto se puede evaluar las expresiones a ambos lados del "=" en la identidad anterior.Un hecho notable es que si la identidad anterior se mantiene, entonces la norma debe surgir de la manera habitual de algún producto interno. Además, el producto interno que se genera mediante la norma es único, como consecuencia de la identidad de polarización, en el caso real, éste viene dado por dada por
COMPONENTES CARTESIANA DE UN VECTOR
Ahora estamos en condiciones de encontrar relacionesanalíticas para trabajar con los vectores, prescindiendo de las representaciones gráficas, que si bien es cierto prestan mucha ayuda didáctica, nos confundirán cuando trabajemos con magnitudes físicas, pues se tiende a relacionar la longitud del dibujo de un vector con su magnitud.
Consideremos un vector libre en el plano XY, representado con su origen en el origen del sistemacartesiano decoordenadas para simplificar el análisis; representemos gráficamente además, suscomponentes cartesianas y sus vectores:

En virtud de lo previamente definido, se puede suponer la existencia de dos vectores ficticios (que llamaremos vectores componentes), tales que sumados tengan al vector A como resultante.
El vector componente situado en la abscisa tiene magnitud equivalente a AX y dirección ˆi ,mientras el vector componente situado en la ordenada tiene magnitud equivalente a Ay y dirección ˆj .

VECTOR UNITARIO, ADICCION, MULTIPLICACION DE VECTORES CARTESIANAS
Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...
Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que...