Optimización difusa

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Optimización Difusa
Alba Sánchez (1), Ricardo Álvarez(2) Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Computación(1) Facultad de Ciencias de la Electrónica(2) agalvez@cs.buap.mx, algor@ece.buap.mx
Resumen: En este trabajo se muestra una aplicación de la lógica difusa en la teoría de optimización . Se presentan ejemplos, uno donde sólo los términos son conjuntos difusos yotro donde tanto los coeficientes como los términos de las restricciones son conjuntos difusos.
Palabras clave: Conjunto difuso, alfa cortaduras, número difuso, orden entre números difusos.

1 Introducción
Muchos campos técnicos, incluyendo todos los de la ingeniería, involucran alguna forma de optimización que es requerida en el proceso de diseño. Debido a que el diseño es un problema conmuchas soluciones, el reto es encontrar la mejor solución de acuerdo a algún criterio. En realidad, casi cualquier proceso de optimización involucra intercambios entre costos y beneficios, debido que al encontrar soluciones óptimas es análogo a crear diseños que pueden tener muchas soluciones, pero solamente unas pocas podrían ser óptimas , o útiles particularmente cuando existe una relacióngeneralmente no lineal entre rendimiento y costo. La optimización en su forma mas general, involucra encontrar la solución óptima a partir de una familia de soluciones razonables de acuerdo a un criterio.(3) El problema clásico de programación lineal es encontrar los valores máximos o mínimos de una función lineal bajo restricciones representadas por ecuaciones o desigualdades. El más típico problema deprogramación lineal es: Minimizar (o maximizar ) c1x1+c2x2.+....+cnxn sujeta a a11x1+a12x2+....+a1nxn ≤ b1 a21x1+a22x2+....+a2nxn ≤ b2 am1x1+am2x2+....+amnxn ≤ bm

x1,x2,...,xn ≥ 0 La función a minimizar (o maximizar) es llamada función objetivo, que es denotado por z. Los números Ci son llamados coeficientes y el vector c=(c1,c2,...,cn) es llamado vector de costo . La matriz A=[aij], i=1,..,n yj=1,..,m es llamada matriz de restricción , el vector b=(b1,...,bm) se forma con los términos independientes de las restricciones. Lo cual puede bien simplificarse como: Minimizar z=cx Sujeta a: Ax ≤ b x≥0 donde x=(x1,x2,...xn) es el vector de las variables. En muchas situaciones prácticas no es razonable requerir que las restricciones o la función objetivo, sea tan estricto, en tal situación esdeseable la programación lineal difusa El tipo más general de programación lineal difusa es el siguiente : Maximizar

∑c x
j =1 j

n

j

sujeta a:

∑A x
j =1 ij

n

j

≤ Bi

xj ≥ 0
donde Aij, Bi,Cj son números difusos y xj son variables cuyos estados son números difusos , la operación de suma y multiplicación son operaciones de conjuntos difusos y el orden que denota ≤ es denúmeros difusos. El caso que presentamos es cuando Bi son números difusos, que típicamente tienen la forma :

Así el conjunto de valores optimales difusos G el cual es una subconjunto difuso de Rn es definido por:

⎧ 1 ⎪ cx − z ⎪ l G ( x) = ⎨ zu − zl ⎪ ⎪ 0 ⎩

cuando z u ≤ c x

⎫ ⎪ ⎪ cuando z l ≤ cx ≤ zu ⎬ ⎪ ⎪ cuando cx ≤ z l ⎭

⎧ ⎫ 1 cuando x ≤ bi ⎪b + p − x ⎪ ⎪ ⎪ i Bi = ⎨ i cuando bi Para cada vector x=(x1,x2,...,xn) , primero calculamos el grado Di(x), para los cuales x satisface las condiciones dadas por la formula

El problema se reduce a encontrar la solución de optimización clásica Maximizar λ λ (zu-zl)-cx ≤ − z l λpi+

∑a
i =1

n

ij

x j ≤ bi + pi

λ,xj ≥ 0 esto es, encontrar x ∈ Rn, tal que

Di ( x) = Bi(∑ aij x j )
j =1

n

Estos grados son conjuntos difusos sobre R Y su intersección Ι m=1 Di es un conjunto i factible difuso. Ahora determinamos el conjunto difuso de valores óptimos , esto es calculando la cota superior e inferior de los valores optimales. La cota inferior zl es obtenida al resolver el problema de programación lineal: Maximizar Z=cx sujeta

n


2. Ejemplos

m i...
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