Optimización

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¿Qué es un problema de optimización en el caso de funciones de una variable?

Dado una función objetivo en la que únicamente contemos con una variable de decisión a resolver denominamos problema deoptimización en el caso de funciones de una variable a la búsqueda de un máximo o un mínimo absoluto en su dominio o en parte de el.

Elementos que forman parte de un problema de optimización defunciones de una variable.

Dado el problema de optimización siguiente:

OPT f(x)
s.a. g(x) ≤ ó ≥ b

Definimos sus elementos como:

f => función a optimizar
x =>Variable de decisión
g => función de restricción
b => recursos determinados por la función de restricción.

Método para resolver problemas de optimización de funciones de variableGráficamente, consiste en dibujar en un eje de ordenadas todas las funciones de restricción y determinar cual es su conjunto de oportunidades. Una vez realizado esto, el siguiente paso consiste en determinarlas curvas de nivel con la función objetivo dándole diversos valores a este, mayores si queremos conseguir un máximo o menores si lo que queremos es hallar es un mínimo. De tal forma que los últimosvalores para los cuales las curvas de nivel toquen el conjunto de oportunidades nos darán los máximos o mínimos de nuestro problema.

Condiciones de primer orden

La condición necesaria de primerorden para que x* sea un optimo local exige que la primera derivada en la función en dicho punto sea [ f’(x*) = 0 ]. Definiendo como punto critico a los puntos que cumplan dicha condición.Condiciones de segundo orden

Dado un punto critico, siempre que la segunda derivada en dicho punto sea no positiva estrictamente diremos que se trata de un máximo local y si dicha segunda derivada es nonegativa estrictamente diremos que se trata de un mínimo local.

No todo punto crítico de f es un óptimo local, siendo denominados estos puntos críticos no óptimos como puntos de silla.

Si una...
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