Optimizacion de funciones

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UNIDAD I.

OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
Documento preparado por: Ing. Elmer Edgardo Espinoza Lic. Oscar Roberto Chacón

MATERIAL DE APOYO – CONTROL DE LECTURA No. 1

1.6 MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE En las empresas hay situaciones en las cuales las actividades de producción y o mercado, entre otras, se encuentran con ciertas condiciones quelas limitan y circunscriben a determinados montos y alcances o proyecciones. De ahí que los montos de producción y venta que minimizan costos y o maximizan utilidades se ven afectados por dichas condiciones, por lo cual se hace necesario considerar los Máximos y Mínimos sin Condiciones y los Máximos y Mínimos con Condiciones. Máximos y Mínimos sin Condiciones Notación: Expresión Significado
lafunción evaluada en el punto P

f P
df dqP

la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en este caso f es una función de una sola variable)

0

f uP

la derivada parcial de f con respecto a u, evaluada en po (en este caso f es una función de varias variables)

0

Es conocido que una función tiene un máximo relativo en un punto P si la función evaluada en dicho punto esmayor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las proximidades del punto P. De manera similar, una función tiene un mínimo relativo en un punto P si la función evaluada en dicho punto es menor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las proximidades del punto P.

1

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Definición: Se dice que una función devarias variables f(r, s, t, ……, z) tiene un valor máximo relativo en un punto P0(r0, s0, t0, ……, z0) si f(r0, s0, t0, ……, z0) P(r, s, t, ……, z) próximos al punto P0(r0, s0, t0, ……, z0). “una función f de varias variables tiene un valor máximo relativo en un punto P 0 si dicha función f evaluada en P0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0” Si f(r0, s0, t0, ……, z0) f(r, s, t,……, z) para todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos al punto P0(r0, s0, t0, ……, z0), entonces la función tiene un mínimo relativo en el punto P0. “si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0 la función f de varias variables tiene un valor mínimo relativo en P0” PUNTO
f r P 0,

f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos

CRITICO:
f s P 0,

A
f t P

todopunto
f z P

P0

para

el

cual

se

cumple

que

0, .......... ,

0 , se le conoce como “un punto crítico de

0

0

0

0

la función f ”. En un punto crítico P0, puede que la función f tenga un máximo o un mínimo. DETERMINANTE HESSIANO: De una función de dos variables, u = f(x1, x2), se pueden obtener un máximo de “dos al cuadrado” derivadas parciales de segundoorden, o sea cuatro: f x x , f x x , f x x , f x x .
1 1 1 2 2 1 2 2

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden dos:

fx x
2

fx x

1 1 2 1

fx x fx x

1 2

2 2

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el determinante Hessiano de la función fde dos variables” Si la función es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un máximo de “tres al cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:

fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x .
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

2

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglocuadrado fila-columna se obtiene el determinante de orden tres:

fx x
3

1 1

fx x

1 2

fx x

1 3

fx x 2 1 fx x
3 1

fx x 2 2 fx x
3 2

fx x 2 3 fx x
3 3

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se le conoce como “el determinante Hessiano de la función f de tres variables” En general, el Hessiano de una función de...
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