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Tarea Tipo II Álvaro Ochoa Bañares: 000424-021
Elección de un modelo para una lata de bebida.

1º Parte:
a) Capacidad[pic].

b) Las diferencias entre la forma real de la lata y las de un cilindro perfecto de sección uniforme, las vamos a enunciar a partir de la descripción minuciosa de la estructura de cada uno de los recipientes:
•El cilindro perfecto: en el cilindro ambas bases son planas, mientras que el cuerpo del cilindro presenta una curvatura circular perfecta y la unión del cuerpo con las bases del cilindro están formando ángulos rectos. Además el grosor del metal con el que está hecho el cilindro hueco en uniforme en todo el perímetro y éste es aproximadamente de [pic]. Así que el volumen de este se puededeterminar con exactitud mediante la siguiente expresión: [pic]

[pic]

• Lata de bebida: Debido a la forma irregular de la lata de bebida vamos a descomponer su estructura en tres partes cada una de las cuales describiremos individualmente:
- Extremo superior: éste se encuentra justo encima del cuerpo de la lata. Puesto que ésta es la parte por la que se ingiere el producto, la boquillapresenta una ligera reducción del radio de la circunferencia que describe la lata, por lo que su unión con el cuerpo, que tiene un cierto bisel o inclinación, se asemeja a un cono truncado perpendicular a la base, cuyas caras laterales presentan una ligera concavidad. En cuanto al grosor, cabe destacar que el espesor de la base superior del tronco de cono es el doble que el de la parte curvada.- Cuerpo de la lata: queda delimitado por el extremo superior y la base de la lata. Tiene un radio uniformemente constante, por lo que es perpendicular a la base y su grosor es de [pic].

- Base de la lata: la forma de ésta se puede asemejar a la del cono truncado del extremo superior pero 0,5cm más achatado, por lo que la pendiente de la cara que une las dos bases es mayor ycomo si le hubieran quitado un casquete polar esférico de la base inferior. El grosor de la base es el doble del cuerpo [pic]

2º Parte.

a) Capacidad = Volumen = Área de la base [pic] Altura
[pic].

b) Área = [pic]
[pic]

c) [pic]
[pic]
[pic]

[pic]

3º Parte.
a) [pic]
[pic] ; [pic] ; [pic].

Para comprobar que el valor que hemos obtenido de [pic] se trata delmínimo el cual hace que la superficie sea lo más pequeña posible manteniendo un volumen constante, realizaremos el estudio del signo de la derivada primera de [pic].
[pic]

Ahora podemos calcular el valor correspondiente a la altura [pic] ideal de la lata:
[pic].
Como podemos observar, la pendiente de la curva [pic] pasa en el punto [pic] de ser decreciente a ser creciente, de lo que deducimosque se trata de un mínimo. Lo cual podemos ratificar mediante la representación gráfica, obtenida mediante el programa DERIVE, de [pic]que presenta un punto de tangente horizontal (línea azul) que es un mínimo.

b) Otro método para comprobar que el valor de [pic] para [pic] se trata de un mínimo, consiste en emplear el siguiente resultado:
• Si [pic] , la función [pic] tiene un máximorelativo en [pic] .
• Si [pic] , la función [pic] tiene un mínimo relativo en [pic] .
De acuerdo con lo anterior [pic] y por lo tanto se trata de un mínimo.

4º Parte:
Antes de empezar hay que tener en cuenta la salvedad de la forma irregular de la lata de bebida con respecto a la de la lata ideal. Pero en cualquier caso producirán un error absoluto en las medidas de altura y radio de [pic].En primer lugar vamos comparar objetivamente el valor de los radios o las alturas de la lata de bebida y los de la lata ideal que minimiza la superficie de metal empleado.

| |Lata real |Lata ideal |
|Radio ([pic]) |3,42 |3,74...
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