Optimizacion En Dos Variables Ucm
OPTIMIZACIÓN EN DOS VARIABLES
Bibliografía
Sydsaeter y Hammond Capítulo 17 (17.1-17.4) y capítulo 18 (18.1-18.2)
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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN DOS VARIABLES
• Introducción a los problemas de optimización en dos variables: función objetivo, conjunto de soluciones factibles. Formulación de un problema como un problema de optimización. Ejemplos. • Conjuntos abiertos ycerrados. Conjuntos acotados. Óptimos locales y globales. • Tipos de problemas de optimización: sin restricciones, con restricciones de igualdad y con restricciones de desigualdad. Problemas lineales y no lineales. Problemas de optimización equivalentes. • Condición necesaria de optimalidad local en problemas sin restricciones. • Teorema de Weierstrass (se aplica solo en problemas restringidos). •Resolución gráfica de un problema de optimización en dos variables. Caso particular de problemas de programación lineal. • Resolución gráfica de problemas con una restricción de igualdad. Cálculo de puntos de tangencia. Problemas con una restricción de igualdad y restricciones de no negatividad en las variables. Soluciones esquina. • Método analítico para resolver problemas con una restricción deigualdad. 2 Método de sustitución.
Introducción a los problemas de optimización en dos variables
min o max f ( x, y ) s.a. ( x, y) S D
El conjunto S de puntos en el que estamos interesados se denomina conjunto de soluciones factibles o conjunto de alternativas. Puede ser todo el dominio de f o un subconjunto del dominio D de f.
Dado un problema real se trata de identificar en primer lugarcuáles son las La función que se quiere minimizar (maximizar) se denomina función objetivo.
variables relevantes del problema (en nuestro caso serán dos), las restricciones que el problema impone sobre ellas (lo que determinará el conjunto de soluciones factibles), y cuál es el objetivo que pretendemos (lo que determinará la función objetivo a considerar).
En los problemas que consideraremos tantola función objetivo como las funciones que sirven para definir el conjunto de soluciones factibles son funciones al menos C1 y en muchos casos C2 en todo S. Esto permite realizar el análisis local a partir de las aproximaciones lineales de estas funciones. 3
Ejemplos de formulación
1) Un anciano señor, rico de profesión, desea distribuir una herencia de 100 unidades entre un hijo y unsobrino. El anciano querría que la parte del hijo no fuese mas del doble de la parte del sobrino. Además, el impuesto de sucesiones grava en un 10% las herencias transmitidas a los hijos y en un 15% las transmitidas a otros parientes. Formula un programa de optimización que permita minimizar el coste fiscal de la herencia, respetando la voluntad del anciano.
2) Un piloto derribado hace unos días en ungran páramo deshabitado está herido y prácticamente deshidratado. El GPS le da su posición en el punto de coordenadas (0,0) sobre un mapa de la región x≥0, y≥0. En dicho mapa aparece un río cuyo cauce está descrito por la ecuación xy=49. Formula un problema de optimización que permita hallar el punto del río más próximo a la posición del piloto. (Recuerde que la distancia del punto (0,0) a un punto(x,y) cualquiera viene dada por (x²+y²)1/2 3) Sea F(K,L) la función de producción de una empresa, donde K es el capital y L es el trabajo. Supongamos que cada unidad de output se vende a un precio de p unidades monetarias, que r es el precio por unidad de capital y w es el precio por unidad de trabajo. Formula los siguientes problemas de optimización: a) El que proporciona las cantidades decapital y trabajo que maximizan los beneficios de la empresa. b) El que proporciona las cantidades de capital y trabajo que minimizan los costes de la empresa si la cantidad producida es al menos de y0 unidades. 4
4) La función de beneficios de una empresa viene dada porB(x,y)=2(x-1)²+2(y-1)², donde x e y son las cantidades producidas de dos productos distintos X y Y respectivamente. Para...
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