Optimizacion

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En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, elproblema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

\begin{matrix} \max(\min) f(x) \ x \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \end{matrix}

Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representavariables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de puntos o decisiones factibles orestricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

\begin{matrix} g(x_1,...,x_n) & \le & 0 \h(x_1,...,x_n) & = & 0 \end{matrix}

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado(costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.Optimización con restricciones de desigualdad - optimización no clásica

Si la restricción contienemayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos omínimos.

Si tanto restricciones como función objetivo son lineales (Programación lineal o PL), la existencia de máximo (mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicación de unos simplesalgoritmos de álgebra lineal elemental los llamados método simplex; y método dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales enalgunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrar puntos críticos, máximos o mínimos. Sin embargo, esta es un área aún muy poco desarrollada de la matemática, frecuentemente, las condiciones...
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