Optimizacion

Problemas resueltos de máximos y mínimos

J.M. Ramos González

Un observador se encuentra frente a un cuadro colgado de una pared vertical. El borde inferior del cuadro está situado a una distancia a sobre el nivel de los ojos del observador, el borde superior a una distancia b. ¿A qué distancia de la pared debe situarse el observador para que el ángulo bajo el que ve el cuadro sea el máximo?b
α β x puesto que tagβ =

a

tag (α + β ) =

b ; x

tagα + tagβ b = 1 − tagα .tagβ x tagα ( x +

a , resulta: x
(b − a ) x x 2 + ab

a a (tagα + ) x = (1 − tagα . )b ; x x

ab ) =b−a; x

tagα =

(b − a ) x ; como lo que hay que maximizar es α ya tenemos la función a x 2 + ab derivar para calcular el extremo. Derivando se obtiene:

α = arctag

dα = dx

(b − a )( x 2 +ab) − 2 x 2 (b − a ) ( x 2 + ab) 2  (b − a ) x  1+  2  x + ab  
2

= 0;

de donde (b − a )(− x 2 + ab) = 0

x = ± ab que en nuestro caso solo nos servirá la solución positiva, es decir que lo estudiamos en el dominio de la función que es R.
0 ab

ab

ab
La derivada en 0 es positiva pues viene determinada por el signo de la expresión ab(b-a) que es positiva toda vez que b>a yambos son positivos. La derivada en ab es negativa pues viene determinada por el signo de la expresión ab-(ab)2 < 0. Hay un máximo.1

A partir de este momento no volveremos a comprobar si el valor que anula la derivada determina un máximo o un mínimo salvo que haya necesidad de discernir. Damos por hecho la optimización establecida en el enunciado del problema.

1

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J.M. Ramos González

Determinar la razón entre el radio de la base y la altura de un cilindro que, con el volumen dado, tenga la superficie total mínima.

r

V = πr 2 h ; h = S T = 2πrh + 2πr 2 ST =

V πr 2

h

2V + 2πr 2 r

Si la superficie total ha de ser mínima, la derivada respecto al radio se anula en dicho mínimo, es decir:V V − 2V + 4πr = 0 de donde, r = 3 y h= por tanto la relación entre 2 2 2π r V  π3    2π  r 1 el radio y la altura es = h 2

Hallar el área total máxima de un cilindro inscrito en una esfera de radio R.
r x R

A = 2πr 2 + 4πrx ,

R2 = x2 + r2

x = R2 − r 2

A = 2πr 2 + 4πr R 2 − r 2 ; derivando e igualando a 0, se obtiene la ecuación bicuadrada en r: 5r4- 5R2r2 + R4 = 0, de donde5± 5  2 5+ 5   R Obtenemos para r dos posibles soluciones r = R   r2 =   10   10  y    

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Pontevedra

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J.M. Ramos González

5− 5   r=R   10  ,   5+ 5   x=R   10   

cuyos

respectivos

valores

de

x

son

5− 5   x=R   10   

y

Veamos entonces cuánto vale el árealateral en ambos casos: En el primer caso el área vale: πR 2 (1 + 5 ) 3 En el segundo caso el área vale: πR 2 (1 + 5 ) que es inferior a la anterior. Por tanto la 5 solución es:

πR 2 (1 + 5 )

La fábrica A debe unirse mediante una carretera con una línea férrea rectilínea en la que se encuentra el poblado B. La distancia AC desde la fábrica hasta el ferrocarril es igual a a, en tanto que ladistancia BC por el ferrocarril es igual a b. El costo del transporte de las mercancías por la carretera es k veces (k>1) mayor que por el ferrocarril. ¿En que punto D del segmento BC hay que trazar la carretera desde la fábrica para que el costo del transporte de las mercancías desde la fábrica A hasta el poblado B sea el mínimo?

A y B a x C D b-x

Si supongo que el precio por unidad dedistancia por tren es 1, por carretera es k. Por tanto la función coste es: k.y + b-x Ahora bien y = x 2 + a 2 , por tanto la función coste es: C ( x) = k x 2 + a 2 + b − x

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x +a k 2 −1 por tanto el punto D ha de estar del pueblo B a una distancia por la línea del ferrocarril igual a a bk 2 −1...