optimizacion

Páginas: 7 (1636 palabras) Publicado: 3 de noviembre de 2014
República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la defensa
Universidad nacional experimental politécnica de la Fuerza Armada
Cátedra: Optimización no Lineal
Sección: 06-ISI-D01
center147320Procesos Estocásticos
0Procesos Estocásticos



Gradiente, máximo global y local.
Gradiente: Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P(campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradienteen un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente lasderivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso deloperador nabla:

Máximo global y local: Sea f A B, donde A y B son conjuntos:
A no es vacío
P es un punto tal que PЄA
P es un máximo local si f(P)≥f(x), en el entorno de P o en una bola de radio mayor a cero centrada en P.
Q es un punto tal que Q ЄA
Q es un máximo global si f(Q)≥f(x), para todo X que pertenece a A.
Condiciones: Condiciones necesarias de primer orden, dirección deascenso, condiciones de segundo orden, existencia del máximo.
Dentro de los problemas de programación no lineal, aparece una solución a dichos problemas, conocido como “Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker” el cual aplica un teorema conocido como:
El teorema de Karush-Kuhn-Tucker, desde un punto de vista práctico, los problemas planteados con restricciones de desigualdades pueden recibir un mejor ajustea las situaciones reales existentes. Con esto puede razonarse que una restricción de igualdad significa agotar completamente dicho recurso
Condición necesaria de 1er orden.
Si x € Rn es un punto mínimo local de f(x), entonces debe cumplirse que ∇f (x) =0, es decir, ∂f (x1, x2 , …, xn)∂x1 = 0 ∀i = 1,..., n.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente para un mínimo
También lasatisfacen otros puntos extremos:
– Máximos
– Puntos de inflexión
⇒ Para que x sea un punto mínimo, debe cumplirse una segunda condición necesaria.
(Condiciones Necesarias de Segundo Orden)
Supongamos que A es punto regular para las restricciones de un PPNL y un máximo local de F sobre D (verificándose así las Condiciones de Primer Orden de Karush-Kuhn-Tucker).
Sea A=HL(a) la matrizhessiana de la función de Lagrange evaluada en el punto a= (a1, a2,..., an), y sea W la matriz cuyas q filas son los vectores gradientes ∀ hi(a) y ∀ gj (a) (con 1 i m, y con 1 j p tal que gj(a)=bj)
Entonces los últimos n-q menores principales de la matriz AW = OWWTA alternando en signo empezando por (-1)q+1, pudiendo ser alguno/s de estos menores principales nulo/s si el último es nulo.
Si afuera mínimo entonces los últimos n-q menores principales de AW son de signo(-1)q, pudiendo ser alguno/s nulo/s si el último es nulo.
Condiciones Suficientes de Segundo Orden
Dado un PPNL, sea a un punto, no necesariamente regular, que satisface las Condiciones de Primer Orden de Karush-Kuhn-Tucker, A=HL(a), Wla matriz cuyas filas son los vectores gradientes ∀hi(a) y ∀ gj (a) (con 1 i m, pero...
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