Optimización Sin Restricciones

Ayudantía Nº 7
Optimización de sistemas II

Ejercicio 1
Demuestre que los siguientes conjuntos son convexos:

a) A={x1,x2∈R2|2x1+3x2≤18}

b) B={x1,x2∈R2|2x12+3x22≤6}

c)C={x1,x2,x3∈R3|x12+x22≤x3}

Ejercicio 2
Dada la siguiente función:

fx1,x2,x3=x1+2x3+x2x3-x12-x22-x32

a) Estudie su convexidad.
b) Encuentre todos los puntos estacionarios.c) Determine si estos puntos son mínimos (máximos) locales (globales).

Ejercicio 3
Dado el siguiente modelo de PNL:

minx∈R2fx1,x2=x12+2x22+4x1-4x2

a) Resuelva el problemade manera iterativa, utilizando en cada iteración como dirección de movimiento la dirección de máximo descenso y estableciendo el tamaño de paso mediante el criterio de minimización lineal.Utilice como punto inicial x0=11T.
b) Estudie la convexidad del problema y determine si la solución encontrada es un mínimo local o global.

Recordatorio
Definición 1
Se dice queun conjunto S⊂Rn es convexo si, dados dos puntos cualesquiera x,y∈S, el segmento que los une esta totalmente contenido en el conjunto, es decir, si la combinación lineal convexa zλ pertenecea S. O sea,

zλ=λx+1-λy∈S ∀x,y∈S,∀λ∈0,1

Teorema 1
Sea f:S→R, con S⊂Rn convexo,

f es convexo⟺fx≥fy+∇fyT(x-y)

Definición 2
Sea f:Rn→R, se define el epígrafo de f como,Epi(f)=[x,λ]∈Rn×R|fx≤λ⊂Rn+1

Propiedad: Sea f:S→R, con S⊂Rn convexo,

f es convexo⟺Epif es un conjunto convexo

Definición 3
Sea f:Rn→R, se define el conjunto de nivel k como,Λk=x∈Rn|fx≤k⊂Rn

Propiedad: Sea f:S→R, con S⊂Rn convexo,

f es convexo⟺Λk es un conjunto convexo

Métodos numéricos en optimización sin restricciones
* Cada iteración es de la forma:xk+1=xk+αkdk
* Dirección de movimiento (dk)
* Dirección de máximo descenso: dk=-∇fxk

* Tamaño de paso (αk)
* Criterio de minimización lineal: αk=argminθα,α≥0 donde,...