Orden

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UNIVERSIDAD DE CHILE EGGP Breve resumen de Orden en R, desigualdades e inecuaciones. Este resumen no es exhaustivo, ni incluye muchas propiedades ni sus demostraciones, que es el trabajo a realizar en clase por parte de cada profesor.

Propiedades de Orden
Los n´meros reales cumplen con las siguientes propiedades b´sicas de Orden, de las cuales se deduce gran u a parte de las propiedadeshabituales de Orden: Consideremos la relaci´n < en R. Se cumplen entonces los siguientes Axiomas de Orden, para todos x, o y, z en R 1. Transitividad: (x < y ∧ y < z) → x < z 2. Asimetr´ x < y → ¬y < x ıa: 3. Tricotom´ se cumple una, y exactamente una de las condiciones siguientes: x < y, x = y,, y < x ıa: 4. Compatibilidad con la suma: x < y → (x + z) < (y + z) 5. Compatibilidad con el producto: (x 0) → xz < yz Estos Axiomas son verdades b´sicas desde las que podemos probar las siguientes propiedades frecuentes, a v´lidas para todos los n´meros reales: a u Propiedad 1. Para todos x, y y z en R se cumplen: 1. x < x 2. cuando x < y, se tendr´ x ≥ y a 3. x > 0 ocurre exactamente cuando (−x) < 0 4. si se tiene x > 0 e y > 0, se tendr´ x + y > 0 a 5. si se tiene z < w y x < y, se tendr´z+x < w+y a 6. x > y exactamente cuando x − y > 0 7. si se tiene x > 0 e y > 0, se tendr´ x · y > 0 a 8. 1 > 0 9. cuando x > 0 y existe x−1 , se tendr´ x−1 > 0 a 10. x2 ≥ 0 11. si se tiene x < y y z < 0, se tendr´ x+z < y +z a 12. cuando x > 0 y x < y y existen x−1 e y −1 , se tendr´ x−1 > y −1 a

Se pueden probar algunas de ellas, como por ejemplo: Demostraci´n Propiedad (1), ´ o ıtem (1) Sisupongo lo contrario de lo que me piden, debiera llegar a una contradicci´n. Supongo entonces que existe un x ∈ R tal que x < x. Aplicando Asimetr´ (con x en ambos o ıa valores) tendr´ x < x → x < x, y por tanto, al suponer x < x, obtengo x < x, lo que es una contradicci´n. ıa o Por lo tanto, ∀ x ∈ R x < x Demostraci´n Propiedad (1), ´ o ıtem (4) Supongamos que x e y son n´meros reales tales que x >0 e y > 0. u Entonces por Compatibilidad con la Suma aplicada a 0 < x, se tiene y < x + y. Y por Transitividad aplicada a 0 < y y a y < x + y, se obtiene 0 < x + y El resto queda de ejercicio. Definici´n 1. El signo de un n´mero o expresi´n x es positivo si x > 0 y negativo si x < 0. A 0 no le o u o asignamos signo. Definimos x ≤ y por (x < y ∨ x = y). An´logamente se define x ≥ y. Se dice que x < yes desigualdad a estricta mientras que x ≤ y es desigualdad no estricta.

1

Veamos un ejemplo en que usamos las propiedades: Ejemplo 2. Probar que si a > 1 y 0 < b < 1, entonces a + b > 1 + ab. Demostraci´n Por las hip´tesis (lo que est´ entre “. . . si. . . ” y el “. . . entonces. . . ”) se tiene (a − 1) > 0 o o a y (1 − b) > 0. Luego, como el producto de positivos es positivo, se tiene (a− 1)(1 − b) > 0. Desarrollando el producto indicado: (a − 1)(1 − b) = a − ab − 1 + b = (a + b) − (1 + ab). Luego, volviendo a la desigualdad, se cumple (a + b) − (1 + ab) > 0, y sumando (1 + ab) a ambos lados (es decir, por compatibilidad del orden con la suma) se obtiene a + b > 1 + ab

Inecuaciones
Las propiedades de orden las podemos aplicar para determinar las soluciones de una Inecuaci´n. oDefinici´n 2. Una Inecuaci´n es una funci´n proposicional p(x) de la forma N (x) < M (x) o N (x) > M (x) o o o o N (x) ≤ M (x) o N (x) ≥ M (x), donde N (x) y M (x) son expresiones que dependen de x. La Soluci´n de la Inecuaci´n dada es el conjunto {x ∈ R | p(x)} o o La forma de resolver una Inecuaci´n usa el hecho de que los signos de un producto y/o divisi´n de o o expresiones depende de lossignos de los factores y/o divisores, lo que nace de las propiedades de orden (demu´strelo como ejercicio): e Propiedad 3. Un producto ab o divisi´n o ⇔ ⇔
a b

es positivo si a y b tienen igual signo, es decir: ⇔ ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

ab > 0 a >0 b

(a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) (x − 1)(x − 2) > 0. (x − 3)...
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