Origenes de las ecuaciones diferenciales

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ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA 3.- ALGUNOS ORIGENES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

A continuación veremos cómo surgen las Ecuaciones Diferenciales no sólo de familias de curvas geométricas, sino de describir problemas físicos.

1- Ecuación Diferencial de una familia de curvas

En esta sección nos interesa el problema inverso de resolver una ecuación diferencial, es decir, partiendo de unafamilia de curvas, nos preguntamos si es posible encontrar una ecuación diferencial asociada a ella que no contenga parámetros arbitrarios y que represente a la familia dada. Generalmente si es posible.

Para la determinación de dicha ecuación diferencial utilizaremos el siguiente procedimiento:

1) dada la ecuación de la familia de curvas n-paramétrica, derivar n veces dicha ecuación
2)resolver el sistema de ecuaciones obtenido de manera de eliminar los n parámetros y obtener con ello una ecuación diferencial de orden n.




3.2.- Algunos Orígenes Físicos

En esta sección nos centraremos en la formulación de ecuaciones diferenciales como modelos matemático.

Con frecuencia deseamos describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos;dicho sistema puede ser físico, psicológico, económico, etc. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama MODELO MATEMÁTICO.

La formulación de un MODELO MATEMÁTICO de un sistema se inicia:

1) Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo.

2) Se establece un conjunto dehipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.

Dado que la hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la RAZÓN ó TASA DE CAMBIO de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen DERIVADAS. En otras palabras, elmodelo matemático es una ECUACIÓN o SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

Una vez formulado de un modelo matemático (una ecuación diferencial), llegamos al problema de resolverlo. Una vez resuelto comprobamos que el modelo sea razonable si su solución es consistente con los datos experimentales a los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en lasolución son deficientes, podemos elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos del cambio; entonces, repetimos los pasos del proceso de modelado. En resumen, la ELABORACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS comprende:

1) La FORMULACIÓN en un problema del mundo real en términos matemáticos.

2) El ANÁLISIS o SOLUCIÓN del problema matemático resultante.

3) La INTERPRETACIÓN de los resultados matemáticos enel contexto de la situación original del mundo real.

A continuación veremos algunos ejemplos de problemas físicos en los cuales nos interesa FORMULARLOS para observar el surgimiento de las ECUACIONES DIFERENCIALES.



1.- LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Según la ley empírica de Newton acerca del ENFRIAMIENTO, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre sutemperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente.

FORMULACIÓN: Si T (t) representa la temperatura del objeto en el
MATEMÁTICA momento t y Tm es la temperatura constante del
medio que lo rodea, entonces:



donde k es una constante positiva (constante de proporcionalidad).



2.- LEY DE DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

Para modelar el fenómeno de la DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA, sesupone que la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad (con más precisión, el número) de núcleos de la sustancia que queda cuando el tiempo es t .

FORMULACIÓN: Sea A ( t ) la cantidad de sustancia en el momento t
MATEMÁTICA entonces:

donde k es una constante positiva (constante de proporcionalidad).



3.- CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO.

Uno de...
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