ortogonalidad de funciones

1.2 Algunos ejemplos de funciones ortogonales.
Antes de ver algunos ejemplos de funciones ortogonales se requiere definir algunos conceptos como la continuidad por partes, su periodicidad y lasimetría par o impar de una función.
Se define una función continua por partes en [a,b] como una función f(t) que es continua en cada punto [a,b], excepto posiblemente para un número infinito de puntos dondef(r) tiene una discontinuidad de salto pero que, al subdividir el intervalo [a,b] en una cantidad finita de subintervalos adyacentes de modo que:
1. f sea continua en el interior de cada uno de estossubintervalos; y
2. f(t) tenga un límite finito cuando t tienda a cada extremo de cada subintervalo desde el interior de éste.
Tal es el caso de la función escalón, tal como se puede ver en laFigura, donde tiene un límite finito por la derecha o por la izquierda dado por





Función escalón
Una función es periódica con periodo T si f(t+T)=f(t) para toda t en el dominio de f. El valor menorpositivo de T se llama periodo fundamental.
Una función f que satisface f(—t)=f(t) para toda r en el dominio de f se denomina función par y es simétrica respecto al eje perpendicular a t como se apreciaen la Figura (a). Una función f que satisface f(—t) = —f(t) para toda t en el dominio de f se denomina función impar y es simétrica respecto al origen como se muestra en la Figura (b).



Comopropiedades de las funciones simétricas se tiene:
1. Si f es una función par continua por partes en [-a,a], entonces


2. Si f es una función impar continua por partes en [-a,a] entonces

En el caso de lasfunciones trigonométricas seno y coseno se tiene




Como ejemplo de funciones ortogonales se tienen las siguientes:
1° Ortogonalidad entre las funciones sen mt y cos nt en el intervalo [-π,π].Haciendo u (t) = sen mt y v(t) = cos mt y de la simetría entre las funciones
sen (—mt) = —sen (mt) y cos (—nt) = cos (nt)
La función u(t)v(t) =sen (mt) cos (nt) es una...