Osc Amortiguadas

Introducción

La siguiente práctica se realiza con la finalidad de estudiar las oscilaciones eléctricas amortiguadas de un circuito serie RLC, medir la frecuencia y el tiempo de relajación de las oscilaciones, determinar la resistencia crítica del circuito.
Se realizarán experimentos para estudiar las oscilaciones amortiguadas débilmente, amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento.Para ello se utilizará un generador de funciones en modo onda cuadrada, un osciloscopio de dos canales para medir los voltajes en el circuito.

Marco Teórico

Un circuito RLC en serie cuenta de objetos almacenadores de energía, los cuales tienden a adaptarse a distintas condiciones dependiendo del tiempo y de la forma como se alimente, cambiando así su voltaje y su corriente, estos efectostemporales son denominados transitorios que se distinguen de los estacionarios que tienen estados estables y mantienen las condiciones por un tiempo necesario o suficiente.
En esta práctica como se utiliza un circuito RLC alimentado por una fuente de voltaje para determinar frecuencias, tiempos de relajación y resistencias críticas para distintas oscilaciones amortiguadas se debe conocer un pocosobre su teoría y sus métodos de cálculo.

Se tiene el siguiente circuito:

Aplicando las leyes de Kirchhoff se tiene:
VR + VL + VC = V0
RI + L(dI/dt) + Q/C = V0
Reemplazando la corriente en términos del condensador (I = dQ/dt) se tiene:
L(d2Q/dt2) + R(dQ/dt) + Q/C = V0
Solución particular Q = Qo = CVo: valor de la carga del condensador transcurrido un tiempo muy grande,cuando la corriente se hace cero.
Para hallar la solución general:
L(d2Q/dt2) + R(dQ/dt) + Q/C = 0
Solución General:
Q = Aeλt
Sustituyéndola en la ecuación diferencial, se tiene:
(Lλ2 + Rλ + 1/C)Q = 0
De esto se desprende que:
Lλ2 + Rλ + 1/C = 0
De la que se obtienen dos valores para :
λ = - R/2L ± [(R/2L)2 - 1/LC]½
Por lo tanto
Q (t) = Aeλ1t + Beλ2t
A y B se determinan a partir de lascondiciones iniciales, I = 0 y Q = 0 cuando t =0. Se puede escribir la solución de esta forma:
Q (t) = e-βt [Aeγt + Be-γt]
Dónde: λ = (-β ± γ), siendo:
Β = R/2L y γ = [(R/2L)2 - 1/LC]½
Se observa que el comportamiento de la carga en el condensador depende de los valores relativos de las constantes dentro de la raíz cuadrada y podemos distinguir 3 casos:
Amortiguamientodébil: (R2 < 4L/c). En este caso es una cantidad imaginaria y se tiene:
Q (t) = e-βt [Aeiωt + Be-iωt]
Por lo tanto la expresión completa para la carga en el condensador puede escribirse como:
Q = CV0 + CVmáx e-βt cos (ωt +δ)
Dónde: Vmáx y δ son constantes.
La carga en el condensador oscila alrededor de su valor final Q0 = CV0 con una amplitud que decae en el tiempo. La frecuenciaangular de oscilación ω es:
ω = [1/LC - (R/2L)2]½
Se observa que esta frecuencia es menor que la frecuencia natural de oscilación del circuito:
ω02 = 1/LC
La amplitud va disminuyendo en el tiempo con una constante de tiempo característica o tiempo de relajación “”
= 1/ = 2L/R
Amortiguamiento crítico: (R2 = 4L/C). En este caso la constante “γ” es cero y la carga alcanza su valor final en elmenor tiempo posible, pero sin llegar a oscilar.
Sobre amortiguamiento: (R2 > 4L/C): En este caso la constante “γ” es una cantidad real y la carga del condensador se acerca a su valor final de equilibrio en forma exponencial y de una manera mucho más lenta que en el caso de amortiguamiento crítico

Esquema del procedimiento experimental y resultados experimentales
Parte A:

1. Se usó ungenerador de funciones de frecuencia variable operado en el modo de onda cuadrada.
2. Se escogió uno de los condensadores y una de las bobinas y se conectaron en serie con la caja de resistencia.
3. Se conectó la punta de prueba de un canal del osciloscopio para medir el voltaje VR del condensador VC y la del otro canal para observar simultáneamente el voltaje V0 de salida del...