Oscilacion forzada

Informe 4 M´todos Experimentales II e P´ndulo El´stico e a
Cristopher Gonz´lez D´ a ıaz, Mar´ Jos´ Tapia, Tarik Iglesias Leiva ıa e Licenciatura en F´ ısica
(Dated: 06 de Julio de 2009) Resumen En esta experiencia, estudiaremos el movimiento oscilatorio de un p´ndulo el´stico,es decir, un e a p´ndulo que se elabora al colgar una masa de un resorte, provocando un oscilaci´n en dos direcciones. eo El p´ndulo el´stico se suelta de una amplitud inicial, θ = 10◦ ± 1◦ , tratando de no elongar el e a resorte. Las mediones se obtuvieron colgando el p´ndulo de un sensor de fuerza. Para luego poder e determinar que ´sta oscilaci´n es la superposici´n de dos movimientos, el de un p´ndulo simple con e o o e su frecuencia caracter´ ıstica y el de un p´ndulo de resorte vertical, con los valores defrecuencias e respectivos ωθ = 7,075 ± 0,020 [s−1 ] y ωr = 7,468 ± 0,560 [s−1 ], donde la constante del resorte tiene un valor de κ = 105 ± 6 [N/m] y adem´s suponemos el valor de la aceleraci´n de gravedad como a o g = 9,76 ± 0,04 [m/s2 ]. ´ INTRODUCCION

I.

Y
11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000

Escom´n observar movimientos oscilatorios en vau riadas situaciones de la vida cotidiana. Muchos objetos ordinarios tienen este patr´n de movimiento, o por ejemplo, los relojes de p´ndulos, las cuerdas de e guitarras, un columpio, entre otros. Los antecedentes hist´ricos se remontan a los descuo brimientos realizados por Galileo Galilei en el siglo XVI. A partir de estos avances se estudiar´n p´nduo elos m´s complejos, como el p´ndulo el´stico, pero a e a fue a trav´s del teorema de Fourier que se lleg´ a e o determinar que estos tipos de movimentos son la superposici´n de movimientos arm´nicos simples. o o
II. ´ MARCO TEORICO

X

LO

θ

m

Figura 1: Diagrama del P´ndulo e

y Consideremos el sistema de coordenadas como se indica en la figura 1 Tomamos como coordenadasgeneralizadas, el ´ngua lo θ entre el resorte y la posici´n de equilibrio, y la o deformaci´n del resorte r. Esta deformaci´n es la diso o tancia entre el largo natural del resorte l0 y el punto de suspensi´n de la masa h, es decir, r = h − l0 . Eso cribamos la posici´n de la masa m en coordenadas o cartesianas x = (l0 + r) sen θ, y y = −(l0 + r) cos θ. Escribamos el m´dulo de la velocidad de la masa al ocuadrado x2 + y 2 donde ˙ ˙ ˙ x2 = (r sen θ + (l0 + r) cos θθ)2 , ˙ ˙ U= ˙ ˙ y 2 = ((l0 + r) sin θθ − r cos θ)2 , ˙ donde m es la masa del p´ndulo. Luego tenemos que e ˙ x2 + y 2 = r2 + (l0 + r)2 θ2 . ˙ ˙ ˙ Por lo tanto la energ´ cin´tica est´ dada por ıa e a 1 ˙ m(r2 + (l0 + r)2 θ2 ). ˙ 2 (1)

T =

(2)

Por otro lado, la energ´ potencial posee dos t´rmiıa e nos: uno gravitatorio y otroel´stico a 1 2 κr − mg(l0 + r) cos θ, 2

(3)

2 donde κ es la constante el´stica del resorte. a Utilizando conceptos de mec´nica anal´ a ıtica, el lagrangiano del sistema es L ≡T −U = 1 ˙ m(r2 + (l0 + r)2 θ2 ) + ˙ 2 1 mg(l0 + r) cos θ − κr2 . 2 estas son las frecuencias de oscilaci´n o modos noro males de oscilaci´n del sistema, las cuales coinciden o con las frecuencias para una masa m oscilandoadherida a un resorte de constante κ, y para un p´ndue lo simple de largo l0 ,notemos que esta distancia no ser´ el largo natural del resorte sino la distancia al a centro de masa del cilindro. Adem´s se debe consia derar que r l0 , es decir la deformaci´n del resorte o es peque˜a. n
´ METODO EXPERIMENTAL A. Materiales

(4)

Luego, aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada coordenadageneralizada, r y θ, y encontramos los puntos de equilibrio del sistema r0 y θ0 , ˙ ¨ es decir, los puntos donde r = r = θ = θ = 0, obte˙ ¨ niendo θ0 = 0 y r0 = mg . κ (5)

III.

a) 2 Cilindros macizos. b) 2 Sensores de Fuerza. c) Soporte universal. d) Resorte. r = r0 + ηr e) Papel milimetrado, hilo. f) Regla y transportador. θ = θ0 + ηθ

Ahora, supongamos soluciones para r y θ de la...