Oscilador armonico

osci
EL OSCILADOR ARMÓNICO.
Movimiento oscilatorio.
Es el de un móvil que pasa cada cierto instante por las mismas posiciones.
Se dice que el móvil ha efectuado una oscilación cuando se encuentra en la misma posición que la de partida y moviéndose en el mismo sentido.
Podemos definir entonces:
Periodo (T): tiempo que tarda en producirse una oscilación.
Frecuencia (f): número deoscilaciones que se producen cada segundo.
Movimiento oscilatorio armónico.
Si un cuerpo es apartado de su posición de equilibrio estable, comienzan a actuar sobre él fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su estado original de equilibrio.
Si dicha fuerza recuperadora obedece la Ley de Hooke: [pic] (es decir: dicha fuerza es proporcional a la posición de la partícula y tiende a llevarla haciauna posición de equilibrio considerada como x=0), entonces la posición de la partícula es una función sinusoidal del tiempo: decimos que dicha partícula está animada de un movimiento armónico simple. Y esta posición se puede escribir:
[pic] (I)
x(t)= elongación: posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio (x=0).
A: amplitud: máxima elongación: máxima distancia de lapartícula a la posición de equilibrio.
[pic]: frecuencia angular: [pic]
[pic]: fase
[pic]: fase inicial
A partir de la expresión (I), derivando, podemos obtener las expresiones para la velocidad y aceleración de una partícula sometida a este movimiento:
[pic][pic] [pic]
[pic]
Además, es evidente comprobar que (I) es la solución para el movimiento de una partícula sometida a una fuerzarecuperadora que obedece la Ley de Hooke:
[pic] y, como acabamos de ver [pic], por tanto: [pic], que se cumple siempre que se haya definido [pic].
Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme.
Supongamos un móvil efectuando un movimiento armónico sobre el eje OX con amplitud A, mientras otro describe un movimiento circular de radio A. Los dos parten simultáneamentede la misma posición indicada en la figura y ambos tienen el mismo periodo:
[pic]
Para el móvil que describe el movimiento armónico simple, obtendremos:
[pic]
[pic]
[pic]
Para el móvil que describe el movimiento circular uniforme, si nos fijamos en un punto cualquiera de su trayectoria, vendrá definido por un vector posición r(t): [pic]
[pic]
Y obtendremos:
[pic]
[pic]
[pic]
Vemos quelas componentes X de estas magnitudes coinciden con las propias del movimiento armónico: el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro de la misma circunferencia.
Energía del oscilador armónico simple.
Las fuerzas restauradoras que obedecen la Ley de Hooke son conservativas, por lo tanto el trabajo que realizan dichasfuerzas: [pic].
Por otro lado, el trabajo realizado por la fuerza restauradora al desplazar el cuerpo desde una posición x hasta la posición de equilibrio será:
[pic]
y tomando referencia de energía potencial 0 en la posición de equilibrio:
[pic]
Por otro lado, la energía cinética de esa partícula es: [pic], que si tenemos en cuenta la expresión de la velocidad en función de la posición ( [pic],podremos escribir: [pic]
Con todo esto, la energía mecánica de un oscilador armónico la podemos obtener como suma de su energía cinética más su energía potencial: [pic]
[pic]
El péndulo simple.
Supongamos que de un hilo de longitud λ suspendemos una bolita de masa m, lo colgamos del techo y lo hacemos oscilar ligeramente respecto a su posición deequilibrio:
[pic]
La fuerza recuperadora (que en cada punto empuja a la bolita hacia la posición de equilibrio) es la componente tangencial del peso:
[pic]
Si el ángulo que forma el hilo con la vertical es muy pequeño: [pic]
En este caso podremos escribir: [pic]de donde:
[pic] [pic] , y como [pic], y obtenemos: [pic]
Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.
Las oscilaciones...