Péndulo simple

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PRÁCTICA 5: PÉNDULO SIMPLE

Introducción

En esta práctica queremos conocer el valor de la aceleración de la gravedad utilizando para ello un péndulo simple, midiendo la duración de, en nuestro caso, 30 oscilaciones en 5 longitudes diferentes del hilo.
Hallaremos tres valor aproximados para saber en qué intervalo puede moverse el valor más exacto de la gravedad.
Para lo cual tendremos queutilizar simplemente una fórmula:

g (m/s²)= (4π²L)/T²

Resultados Experimentales

En primer lugar construiremos una tabla con los valores de las longitudes tomadas y los valores del tiempo medidos, añadiendo también el tiempo medio y la desviación típica correspondientes a cada una.

L (cm) | 20.50 | 40.70 | 61.00 | 81.00 | 90.00 |
t (s) | 27.44 | 38.50 | 47.00 | 54.25 | 57.25 |
 | 27.47 | 38.63 | 46.81 | 54.07 | 57.34 |
  | 27.47 | 38.72 | 46.91 | 54.19 | 57.34 |
  | 27.47 | 38.53 | 47.14 | 54.13 | 57.50 |
Media (s) | 27.4625 | 38.5950 | 46.9650 | 54.1600 | 57.3575 |
Desviación típica (s) | 0.0150 | 0.1002 | 0.1401 | 0.0775 | 0.1040 |

ΔL (cm) => 0.5

Para hallar la incertidumbre del tiempo hemos de tener en cuenta la incertidumbre aleatoria y lasistemática. Siendo la fórmula:
Δt (s)=√ [(ΔAletoria)² + (ΔSistemática)²]

La incertidumbre aleatoria se calcula mediante la ecuación:

ΔAletoria (s)=t(n-1)*[(Desviación típica)/√ (nº de datos)]

Mientras que la incertidumbre sistemática depende de la precisión del cronómetro y el tiempo de respuesta que tenga cada persona, en este caso 0.05 segundos.
Así dado, la incertidumbre para cada tiemposería:

ΔAleatoria (s) | 0.0276 | 0.1840 | 0.2575 | 0.1423 | 0.1912 |
ΔSistemática (s) | 0.05 | 0.05 | 0.05 | 0.05 | 0.05 |
Δt (s) | 0.057 | 0.191 | 0.262 | 0.151 | 0.198 |

En segundo lugar calcularemos el periodo (y las incertidumbres, tanto absoluta como relativa) de cada longitud por medio de la ecuación:
T (s)=t/nº de oscilaciones

T (s) | 0.92 | 1.29 | 1.57 | 1.81 | 1.91 |ΔAbsoluta T (s) | 0.0019 | 0.0064 | 0.0087 | 0.0050 | 0.0066 |
ΔRelativa T (%) | 0.2079 | 0.4941 | 0.5584 | 0.2785 | 0.3445 |

A continuación haremos lo mismo con la longitud:

L (cm) | 20.50 | 40.70 | 61.00 | 81.00 | 90.00 |
ΔAbsoluta L (cm) | 0.50 | 0.50 | 0.50 | 0.50 | 0.50 |
ΔRelativa L (%) | 2.4390 | 1.2285 | 0.8197 | 0.6173 | 0.5556 |

Una vez tenemos estos datos podemos iniciar elcálculo del valor de la gravedad. Empezaremos calculando un par de aproximaciones, una para la mayor longitud y otra para la menor, así como sus respectivas incertidumbres. Utilizaremos la ecuación citada en un principio: g (m/s²)= (4π²L)/T²

Y la incertidumbre por medio de la siguiente ecuación:

Δg (m/s²)=√ [((4π²/T²)*ΔL)² + ((8π²L/T³)*ΔT)²]

g (L mínima) (m/s²) | 9.667 |
Δg (L mínima)(m/s²) | 0.239 |
g (L máxima) (m/s²) | 9.720 |
Δg (L máxima) (m/s²) | 0.086 |

Para hallar el tercer valor de la gravedad que nos aproximará más al valor más exacto de la gravedad utilizaremos la pendiente de la gráfica de T² frente a L.

La pendiente y la ordenada de esta gráfica son:

m (m/s²)= 4.031
c ((m*(1-s²)) / s²)= 0.78*(10^-2)
Y sus respectivas incertidumbres se hallangracias a los siguientes datos y fórmulas:

Media L (m) => 0.5864
Varianza L (m) => 0.06531
D=nº de datos*Varianza L => 0.32655
t de Student con un nivel de confianza del 95%: t(n-2) => 3.18245
s²residual= (1 / (n-2))*Σ (T²₅ - m*L₅ - c) ² => 4.85755*(10^-6)
s²m= s²residual / D => 1.48754*(10^-5)
s²c= s²residual*((1/n) + ((Media L) ² / D) => 6.08664*(10^-6)

Con estosdatos podemos hallar la incertidumbre de ambas incógnitas.

Δm (m/s²)= t(n-2)*sm => 0.012
Δc ((m*(1-s²)) / s²)= t(n-2)*sc => 0.79*(10^-2)

Así los resultados serían:
m= 4.031±0.012 (m/s²)
c= (0.78±0.79)*10^-2 (m*(1-s²)) / s²)

Dada la pendiente podemos hallar el valor de la gravedad tomando m=L/T², por medio de la ecuación:
g (m/s²)= 4π²/m
g (m/s²) => 9.793

Para hallar la...
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