Paper biplot

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2. Método Biplot
Un Biplot (GABRIEL, 1971) es un método de representación grafica de datos multivariantes que permite aproximar los elementos de una matriz en un espacio de baja dimensión, usualmente de dimensión dos, y superpone sobre la misma representación las variables sobre las que se mide la muestra (GOWER, 1995).La representación de las variables son normalmente vectores, y coinciden conlas direcciones en las que mejor se muestra el cambio individual de cada variable. El prefijo “” se refiere a la superposición, en la misma representación, de individuos y variables.
Desde que GABRIEL (1971) propuso los métodos Biplot como una técnica de representación simultánea de individuos (filas) y variables (columnas), a la fecha muchos investigadores han contribuido a relacionar elBiplot con otras técnicas multivariantes, siendo las tendencias más importantes de investigación la descripción y la diagnosis. Desde el punto de vista del usuario, los Biplots son importantes porque su interpretación se basa en conceptos geométricos sencillos, que forman parte de la cultura matemática de los potenciales usuarios.

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Resumen:
Cualquier matriz de segundo orden se puedevisualizar en un Biplot que consiste en un vector para cada fila y un vector para cada columna, elegido de manera que cualquier elemento de la matriz es exactamente el producto interno de los vectores correspondientes a su fila y su columna. Si una matriz es de rango superior, se puede mostrar que aproximadamente un Biplot de una matriz de segundo orden, se aproxima a la matriz original. El Biplotproporciona una herramienta útil de análisis de datos y permite la evaluación visual de la estructura de las matrices de gran tamaño. Es especialmente revelador en el análisis de componentes principales, donde el Biplot puede mostrar distancias entre las unidades e indicar agrupación de unidades, así como las variaciones de visualización y las correlaciones de las variables.
1- Biplot exacta de dosmatrices de cualquier rango
Cualquier matriz puede ser representada por un vector para cada fila y otro vector para cada columna, se elegirán de manera que los elementos de la matriz son los productos internos de los vectores representando las filas y columnas correspondientes. Esto es conceptualmente útil en las propiedades de las matrices. Cuando la matriz es de rango dos o tres, o puede ser muyaproximada a una matriz de tal rango, los vectores de pueden trazar o modelar y la representación matricial inspeccionarse físicamente. Esto es de evidente interés practico para el análisis de matrices de gran tamaño.
Cualquier matriz Y nxm de rango r puede ser factorizada como:
Y =GH´(1)
En una matriz G nxr y una matriz H mxr, necesariamente de rango r (Rao,1965ª,1b.2.3). Esta factorización no es única. Una forma de factorizar Y es elegir las r columnas de G como una base ortonormal del espacio columna de Y, y para calcular H como Y´G.
La Factorización (1) puede ser escrita como:
yij = gi’hj(2)
para cada i y j, donde yij es el elemento en la fila i y la columna j de Y, gi’ es la fila i de G y hj es la fila j de H. De esta forma, la factorización asigna los vectores g1,…,gn, uno para cada una de las n filas de Y y los vectores h1, …, hm, Uno para cada columna de Y. Cada uno de estos vectores es de orden r, y por lo tanto (2) proporciona unarepresentación de Y por medio de n + m vectores en R-espacio. Los vectores g1,…,gn pueden ser considerados como "efectos de fila" en la que gi =kge significa que la fila i es k veces consecutivo e,y similarmente los hj pueden ser considerados como "efectos de columna".
Para obtener una matriz de rango uno, la factorización (1) le asigna efectos escalares fila g1,…, gn y los efectos de la columna...
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