Parabola

ALGEBRA Y MODELOS ANÁLITICOS
TERCERO MEDIO
UNIDAD Nº 2 2010
GUÍA Nº 3







LA PARÁBOLA

La parábola es una curva  que tienen una gran  importancia en Física  y que se ajusta  a la descripción o  a la representación  matemática de muchos  fenómenos.  
Pero la parábola  también tiene importancia en nuestra vida cotidiana  y, aunque muchas veces  no nos fijemos o  no seamos conscientes  de ello, tenemos muchas  parábolas a nuestro  alrededor. 
Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).
Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que seutilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.
Si se recibe luz de una fuente lejana con unespejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. . Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusausando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares.


Definición:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

[pic]

[pic]






ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN:Si P(x,y) es un punto de la parábola, se cumple que: d(P;F) = d(P;D), reduciendo , resulta la ecuación canónica
[pic], si p > 0, el foco de la parábola está en la parte positiva del eje X, por lo tanto su concavidad se orienta hacia la derecha. Si p < 0, el foco de la parábola está en la parte negativa del eje X, por lo tanto, su concavidad se orienta hacia la izquierda.
En forma análoga,si el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y, la parábola tiene por eje focal, al mismo Y, y su ecuación está dada por [pic]
|¿Qué ocurrirá si el p > 0 ó si el p < 0, en la ecuación anterior? |
||
| |


ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA:
Si consideramos una parábola con vértice V(0,0), su ecuación canónica es [pic]. Si le aplicamos una traslación T(h,k), obtenemos la ecuación principal de la parábola con vérticeV(h,k):
[pic]
ó bien [pic] (Ec. General)
Si el eje focal o eje de simetría es paralelo al eje Y, la ecuación principal es de la forma: [pic] o su equivalente, la ecuación general: [pic]
EJERCICIO 1:
Determino lo elementos de la parábola de ecuación [pic]
Ordenando la ecuación, nos queda [pic]; [pic]. Entonces el vértice es el punto V(3,2) y el lado recto es 8.
Como estaparábola ha sido trasladada, su eje focal también se ha trasladado en h=3 unidades, por lo tanto las coordenadas del foco son F(3 + p, 2 + 0) =(5,2) y la ecuación de la directriz es: X= - p + h = - 2 + 3 = 1. Entonces se tiene, D: X=1
EJERCICIO 2:
Determino la ecuación del LG de todos los puntos (x,y) del plano que equidistan del punto F(2,2) y del eje de las abscisa.
Sabemos que por...