Parabolas

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2.-Una parábola
3.-Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija se llama directriz.
4.-La ecuación de una parabola con vértice en el origen y con foco en (a, 0) es
y2=4ax (3.2)
La párabola abre hacia la derecha si a 0 y abre hacia la izquierda si a 0.
Laecuación de una parabola con vértice en el origen y foco en (0,a) es
X2=4ay (3.3)
La parábola abre hacia arriba si a 0 y abre hacia abajo si a 0.
Las ecs (3.2) y (3.3) se pueden aplicar para encontrar las ecuaciones de las parábolas que satisfacen condiciones específicas.
Ejemplo. Escribir la ecuación de la parábola con vértice en el origen y con el foco en (0.4).
Solución Aquí seaplica la ec (3.3). La distancia del vértice al foco es 4 y por eso a=4. Poniendo este valor en lugar de a, obtenemos
X2=16y
Ejemplo2. Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje propio está a lo largo del eje x, y pasa por el punto (-3,6). Hallar su ecuación.
Solución La ecuación de la parábola es de la forma y2=4ax. Para detereminar el valor de 4ª, ponemos las coordenadas delpunto dado en esta ecuación. Así obtenemos
36=4ª(-3) y 4=-12
La ecuación requerida es y2=-12x. El foco está en (-3,0). Y el punto dado es el extremo superior del latus rectum. La gráfica está trazada en la figura 3.8.
Ejemplo 3. La ecuación de una parábola es x2=-6y. Hallar las coordenadas el foco, la ecuación de la directriz, y la longitud del lactus rectum.
Solución. La ecuación es de laforma (3.3) donde a es negativa. Por eso, el foco está en el eje y negativo y la parábola abre hacia abajo. De la ecuación 4a=-6, encontramos que a=-3/2. Por tanto, las coordenadas del foco son(0, -3/2)y la directriz es y=3/2. La longitud del latus rectum se extiende 3 unidades a la izquierda y 3 unidades a la derecha del foco. Se puede hacer un trazo de la gráfica marcando el vértice y losextremos del latus rectum. Para hacer una gráfica más correcta se podrían marcar unos cuantos puntos adicionales.
5.-
6.-Consideremos ahora una parábola cuyo eje es paralelo a, pero no en coincidencia con un eje coordenado. En l fig. 3.10, el vértice está en (h,k) y el foc etá en (h+a,k). Introducimos otro par de ejes por una traslación hasta el punto(h,k). Puesto que la distancia del vértice alfoco es a, tenemos de inmediato la ecuación
Y´2=4ax´
Para escribir la ecuación de la parábola respecto a los ejes originales, aplicamos las fórmulas de traslación y obtenemos así
(y-k)2=4ª(x-h)
En esta ecuación observamos que cuando a 0, el factor x-h del sgundo miembro debe ser mayor que o igual a cero. Por eso, la parábola abre hacia la derecha. Para a 0, el factor x-h debe ser menoro igual a cero, y por eso la parábola abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola está sobre la recta y-k=0. La longitud del latus rectum es igual al valor absoluto de 4ª, y entonces fácilmente se pueden localizar los puntos extremos.
Se puede hacer una discución semejante si el eje de una parábola es paralelo al eje y. Establecemos lo siguiente.
Teorema. La ecuación de una parábolacon vértice en (h,k) y foco en (h+a,k) es
(y-k)2=4a(x-h)
La parábola abrea hacia la derecha si a 0 y abre hacia la izquierda si a 0.
La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k+a) es
(x-h)2=4a(y-k)
La parábola abre hacia arriba si a 0 y abrea hacia abajo si a 0.
7.- En el ejercico 6 se mencionan las ecuaciones (y-k)2=4ª(x-h) y (x-h)2=4a(y-k) estas están enforma estándar. Cuando h=0 y k=0, se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección precendente. Si la ecuación de una parábola está en la forma estándar, rápidamente se puede trazar su gráfica. El vértice y los extremos del latus rectum son suficientes para un trazo burdo. Marcar unos cuántos puntos adicionales ayudaría, por su puesto, a mejorar la precisión.
Notamos que las dos ecuaciones...
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