Parametrizacion, curvatura y torsion

DESARROLLO DEL EXAMEN parcial de la escuela de ingeniería electrónica

1.- Sea C la curva descrita por la función αt=(t2-4,t3-4t), , t∈R.
a) ¿Es C una curva con puntos dobles?
Se dirá que sonpuntos dobles si se cumple que α(t1)= α(t2) tal que t1≠t2.
⇒t12-4 ;t13-4t1=t22-4 ;t23-4t2

t12-4= t22-4 t13-4t1= t23-4t2
t12=t22……………1t1(t12-4)=t2(t22-4)

Como tomamos t1≠t2. Entonces;

t12-4=0= t22-4
t1=±2 , t2=±2

Usamos: t1=2 , t2=-2 y se cumple quet1≠t2

Tenemos: αt1= α2=22-4 , 23-42=(0 , 0)
αt2= α-2=-22-4 , -23-4-2=(0 , 0)

De las ecuaciones notamos que αt1= αt2 y t1≠t2.
∴ Es C una curva con puntos dobles

b) Dibujela curvaC. αt=(t2-4,t3-4t)
Función Par Función Impar
Notamos entonces que la curva es simétrica respecto al eje X αt0=(x0 , y0)
α-t0=(x0 , -y0)
Veremos valores no negativoscomo:α´t=(2t , 3t2-4) tiene un vector tangente α´t en cada punto αt.
Horizontal: Segundo componente cero.
α´t Vertical: Primer componente cero.
α´0=0 , 0 Vector tangente vertical yα0=-4 ,0
α´23=433 , 0 Vector tangente Horizontal y α23=-83 ,-1639
Si t∈ , α´t Apunta hacia la derecha u hacia abajo pues 2t es positiva y 3t2-4 negativa
t∈ , α´t Apuntahacia la derecha u hacia arriba pues 2t es positiva y 3t2-4 positiva
α´2=4, 8 y α´-2=-4 , -8
α0=-4 , 0
α23=-83 ,-1639
Y la gráfica resultante es:

2.- La trayectoria de una partícula, P, enmovimiento en el tiempo t esta dado por:
αt=P0 +rcoste1+(rsent)e2
Donde P0∈R3 es un punto fijo,r>0, e1, e2 son vectores unitarios mutuamente ortogonales.
a) Parametrice la curva que describe latrayectoria α mediante el parámetro longitud de arco.
S=abα´tdt……………..1
α´t=-r sente1+ r coste2
Asumiendo supuestos valores : e1=a,b,c y e2=(m,n,p)
e1=1=a2+b2+c2 y e1=1=m2+n2+p2……..(2)...