Paramore

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10.1 Algoritmo de la División

Estableceremos en este apartado el algoritmo de la división de dos números, viendo que el cociente y elresto de la división son únicos.

10.1.1 Existencia y Unicidad de Cociente y Resto

Si a y b son números enteros con b > 0, entoncesexisten dos enteros, q y r, ´únicos, tales que
a = bq + r, con 0 6 r < b. A los números a, b, q y r se les suele llamar, respectivamente,dividendo, divisor, cociente y resto.
Demostración
Existencia de q y r.
Bastaría tomar q como un número entero tal que bq sea el mayor delos múltiplos de b menor o igual que a, es decir tal que bq 6 a.
Una vez obtenido el cociente q, podemos calcular el resto r sin más quehacer
r = a − bq.
Por otra parte, si bq 6 a, entonces el siguiente múltiplo de q, b(q + 1), será estrictamente mayor que a, es decir,
bq 6a < b(q + 1).
Entonces,
bq 6 a < b(q + 1) =) bq − bq 6 a − bq < b(q + 1) − bq
=) 0 6 a − bq < b
=) 0 6 r < b.
Así pues,existen q y r, enteros tales que
a = bq + r, con 0 6 r < b.
Unicidad de q y r.
Supongamos que no son ´únicos, es decir, supongamosque existen r1, r2, q1 y q2, enteros tales que verifican el teorema, o sea,
a = bq1 + r1 : 0 6 r1 < b
a = bq2 + r2 : 0 6 r2 < b.Entonces,
bq1 + r1 = bq2 + r2 =) b(q1 − q2) = r2 − r1 =) b |q1 − q2| = |r2 − r1| y al ser
0 6 r1, r2 < b
será
0 6 |r2 − r1| < b
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