Pendulo simple

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Péndulo físico
1.1 Objetivos
1. Estudiar el comportamiento del péndulo físico.
2. Determinar la aceleración de la gravedad.
1.2 Preinforme
1. Exprese y explique el teorema de ejes paralelos.
2. A qué se denomina radio de giro?  Expréselo en términos del momento de inercia para un eje que pase por el centro de masa (C.M.).
1.3 Fundamento teórico
Un péndulo físico es un cuerpo rígido quepuede girar libremente alrededor de un eje tal como se muestra en la Figura (1.1). Cuando el cuerpo se separa de la posición de equilibrio y se suelta, presentará un movimiento oscilatorio. Empleando la ecuación de la dinámica rotacional:
τA = IAα     (1.1)
se puede hallar la ecuación de movimiento; donde:
τA: Momento o torque alrededor de A (Análogo rotacional de la fuerza).
IA: Momento deinercia del cuerpo alrededor de A (Análogo de la masa).
α: Aceleración angular del cuerpo (Análogo de la aceleración lineal)
[pic]
Figura 1.1:
El peso del cuerpo Mg, aplicado al centro de masa, produce un momemto respecto a un eje de rotación que pasa por el punto A, dado por:
τA = h × Mg                    (1.2)
Donde:
M: Masa total del cuerpo rígido.
h: Distancia entre el punto de suspensiónA y el centro de masa.
Utilizando la definición de producto vectorial y tomando como positivo el movimiento de rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, se obtiene:
τa = −Mghsenϕ
Siendo ϕ el ángulo entre los vectores h y Mg
De la definición de aceleración angular se tiene:
α = ϕ'' = d2ϕ/dt2
Entonces de (1.1) y (1.2):
α = ϕ'' = − Mghsenϕ / IA
Para pequeñas oscilacionesse asume válida la aproximación:
senϕ = ϕ
con lo cual:
ϕ + Mgh/ IA ϕ = 0         (1.3)
Definiendo:
ω2 ≡ Mgh/IA
se obtiene:
ϕ'' + ω2 ϕ = 0         (1.4)
La cual tiene la misma estructura de la ecuación del oscilador armónico, donde ω es la frecuencia angular de oscilación.
como:
ω = 2π/T
el período de oscilación será:
[pic]    (1.5)
Utilizando el teorema de ejes paralelos:
IA = I0+Mh2
Donde Io es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masa (C.M).
Por definición I0 = MK20 , con lo cual:
IA = MK20 +Mh2
Ko es el radio de giro.
Volviendo a (1.5) se tiene en definitiva la siguiente expresión para el período de Oscilación del péndulo físico:
  [pic]  (1.6)
Esta ecuación expresa el período en términos de la geometría del cuerpo. Ella muestra que Tes independiente de la masa, dependiendo únicamente de la distribución de masa medida por K0 y de la localización al eje de suspensión (especificado por h). Ya que K0 para cualquier cuerpo rígido es una constante, el período T de cualquier péndulo físico es función sólo de h.
Recordando la ecuación del péndulo simple:
   [pic]     (1.7)
al compararla con la ecuación (1.6) se observa que elperíodo de un péndulo físico suspendido de un eje a una distancia h del centro de gravedad es igual al período de un péndulo simple, de longitud dada por:
L =(K20 + h2)/h = h + K20h/h          (1.8)
El péndulo simple cuyo período es el mismo que el dado por un péndulo físico, es llamado péndulo simple equivalente.
Es conveniente especificar la localización del eje de suspensión que pasa por el puntoA, en términos de la distancia S desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia h medido desde el centro de masa.
Si las distancias S1, S2 y D (Fig. 1.2) son medidas desde el extremo superior, la distancia h1 debe ser considerada negativa ya que h es medida desde el C.M. Asi si D es la distancia fija desde extremo superior de la barra al C.M.,
S1 = D + h1
S2 = D + h2
y engeneral:
S = D + h
 
[pic]
Figura 1.2:  distancia a medir
[pic]
Figura 1.3: Período en función de la distancia al centro de masa y en general:
 
Sustituyendo esta relación en la ecuación (1.6) se obtiene:
   [pic]    (1.9)
La relación entre T y S expresada por la ecuación (1.9) puede mostrarse mejor gráficamente.
Cuando T es trazada como una función de S, un par de curvas SPQ y S’P’Q’...
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