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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E lNGENlERlA UNIDAD IZTAPALAPA

CASA ABIERTA AL TIEMPO

ECLJAC IONES D IFERENCIALES CON COEFICtENTES PERIODICOS Y RESONANCIA PARAMETRICA

TESIS

DE

MAESTRIA
EL GRADO DE

QUE PARA OBTENER

MAESTRO MATEMATIC EN
P R E S E N T

AS
A

CUTBERTO SALVADOR ROMERO MELENDEZ
DIRECTORES: DR. ERNESTO PEREZ CHAVELA DR.JOAQUlN DELGADO FERNANDEZ

MEXICO, D. F.

ABRIL

DE

1995

A mi Madre. A la metnoria de mi Padre.

Agradecimientos
Agradezco ampliamente a Joaquín Delgado Fernández y a Ernesto Pérez Chavela, directores de la tesis, todas sus atenciones, su paciencia y sus consejos, los cuales hicieron posible la realización de est,e trabajo. Agradezco a Ernesto Lacomba Zamora, a Peter Seibert Kopp y aFederico Sánchez Bringas su labor de revisión de la tesis y sus valiosos consejos. Finalmente, agradezco a Marina, Alaide e Hiram sucomprensión por el tiempo que no les dediqué, elaborando este trabajo.

Indice de Contenido
1 Motivación y ejemplos 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Oscilaciones mecánicas: vibraciones en unamembrana elíptica . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas eléctricos oscilantes ................................
2

1 1 2 6
9

Estabilidad 2.1 Int.roducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Teoría de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Estabilidad de órbitas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 La ecuación varlaclonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La 3.1 3.2 Enunciado del teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostración del teorema principal . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

9
12 12 20 20
23

3

23
24
39

4

La E c u a c i ó n 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propiedadeslas de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Las funciones de Mathieu ................................. 4.4 Coexistencia . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Cálculo de las regiones de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6

39 40 41
41

46 Regiones deestabilidad y fracciones continuadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.7 La ecuación de Mathieu amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.8 Pulsos periódicos . El pbnduloparamétricamenteperturbado . . . . . . . . . . . . . . 56 Un 5.1 5.2 5.3 5.4
caso

5

5.5

no-lineal de la ecuación de M a t h i e u Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El mapeode avance a un período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidad y mapeos que preservan área . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . El caso integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Integrales Elípticas Completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El caso no integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 El teorema Twist de Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 El teoremade Poincaré- Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

(r i,

t16 67 68 70 74 75 77

lndice de Contenido

111

...

INTRODUCCION

En el presente trabajo se estudian dos aspectos relevantes de las ecuaciones diferenciales con coeficientes periódicos: estabilidad y resonancia paramétrica. Este Últ,imo es un fenómeno que aparece en la clase de ecuaciones...
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