Pentagono

Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.
La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntosy :
Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero
Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es muy sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en y radio y otra con centro en y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos y obtenemos el triángulo equilátero .

Polígonoregular de 4 lados: Cuadrado
La construcción del cuadrado también es sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en y radio . Esa circunferencia corta al eje en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos . Trazamos la recta paralela al eje que pasa por y la recta paralela al eje que pasa por . El punto de corte de las mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos , yobtenemos nuestro cuadrado.

Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular
La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:
Trazamos la paralela al eje que pasa por , digamos . Se traza la mediatriz del segmento obteniendo el punto como corte con el eje . Trazamos la circunferencia de centro y radio , digamos . Obtenemos elpunto como corte de con la recta . Con centro en trazamos la circunferencia de radio , , obteniendo el punto de corte con el eje . Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio , . Obtenemos el punto al cortar con y el punto como corte con la mediatriz del segmento . Para obtener el vértice que nos falta, , simplemente construimos el punto simétrico a respecto de la mediatriz del segmento .Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular
La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:
Con radio trazamos circunferencias con centro y . Tomamos uno de los puntos de corte, digamos . Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio . Obtenemos los puntos y como cortes con lascircunferencias anteriores y como corte con el eje . Trazando la paralela al eje que pasa por obtenemos el último vértice, , como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.

Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular
El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué:
Viendo lasconstrucciones anteriores de otra forma, mediante la relación de los puntos del plano con los números complejos, para construir un polígono regular de lados debe ser construible el número complejo . En el caso del heptágono debería ser construible el punto . Tenemos que el polinomio tiene a como raíz. La descomposición en polinomios irreducibles en queda así: . Como no es raíz de debe serlo del otrofactor. Pero el grado del mismo es , y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mínimo irreducible en debía ser una potencia de . Por tanto no podemos construir el número complejo y en consecuencia tampoco el heptágono regular.
Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono regular de8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte sí. Y nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables, probablemente el que más. Vamos con el resultado:
Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)
Un polígono regular de lados es...